Średnia Stolarskiego

Średnia Stolarskiego – średnia, której szczególnymi przypadkami jest wiele klasycznych średnich, zdefiniowana dla ustalonego parametru p oraz dodatnich argumentów wzorem

$S_p(x, y) \begin{matrix} &=& \begin{cases} x & \mbox{jeśli }x=y \\ \left({\frac{x^p-y^p}{p (x-y)}}\right)^{1\over p-1} & \mbox{wpp.} \end{cases} \end{matrix}$.

Gdzie parametr $p\in \mathbb R / \{0,1\}$.

Można pokazać, że tak zdefiniowana funkcja jest średnią jej argumentów stosując twierdzenia Lagrange'a dla liczb x i y oraz funkcji $f(x) = x^p$.

Szczególne przypadki

• $\lim_{p\to -\infty} S_p(x, y)$ jest minimum.
• $S_{-1}(x, y)\;$ jest średnią geometryczną.
• $\lim_{p\to 0} S_p(x, y)$ jest średnią logarytmiczną.
• $S_{\frac{1}{2}}(x, y)$ jest średnią potęgową dla wykładnika ½.
• $S_2(x, y)\;$ jest średnią arytmetyczną.
• $\lim_{p\to\infty} S_p(x, y)$ jest maksimum.

Bibliografia

1. Stolarsky, Kenneth B.: Generalizations of the logarithmic mean, Mathematics Magazine, Vol. 48, No. 2, Mar., 1975, pp 87-92
2. Weisstein, Eric W. "Stolarsky Mean." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/StolarskyMean.html