Średnia arytmetyczno-geometryczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Średnią arytmetyczno-geometryczną dwóch liczb rzeczywistych dodatnich a i b, oznaczaną często w nomenklaturze anglojęzycznej przez AGM(a,b) lub M(a,b), nazywamy wspólną granicę następujących ciągów określonych rekurencyjnie:

a_{n+1}=\frac{a_n + b_n}{2}
b_{n+1}=\sqrt{a_{n}b_{n}}

gdzie a0 = a oraz b0 = b, przy czym średnią tę można rozszerzyć dla liczb zespolonych. Granica ta istnieje dla dowolnych a, b rzeczywistych dodatnich, ponieważ b_{n}\leqslant b_{n+1}\leqslant a_{n+1} \leqslant a_{n} co wynika z nierówności Cauchy'ego, i równocześnie kolejne różnice pomiędzy odpowiednimi wyrazami ciągów (an) i (bn) dążą do zera:

\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n) = 0

Z samej konstrukcji mamy:

\sqrt{ab}\leqslant M(a,b) \leqslant \frac{a+b}{2}

Badania nad nią zapoczątkowane zostały jeszcze przez Gaussa, który w początkowym okresie swojej twórczości naukowej poświęcił jej dużo miejsca. W jego dzienniku z 30 maja 1799 roku czytamy nawet, że badania nad nią „stworzyły nowe pola rozwoju analizy”. Wkrótce odkrył on zaskakującą równość:

\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\alpha}{\sqrt{a^{2}\cos^{2}\alpha +b^{2}\sin^{2}\alpha}}=\frac{\pi}{2M(a,b)}

z której wynika, że długość ćwiartki lemniskaty Bernoulliego wyraża się zależnością:

\int\limits_{0}^{1}\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{2})}

Wielkość : M(1,\sqrt{2}) nazywa się stałą Gaussa i wynosi w przybliżeniu 1,198\,140\,234\,735\,592\,207\,439\,9\ldots Czasami stałą Gaussa nazywa się odwrotność powyższej liczby.

Średnia arytmetyczno-geometryczna ma wiele ciekawych własności m.in.:

M(\lambda a,\lambda b)=\lambda M(a,b),\mbox{dla }\lambda \geqslant 0
M(a,b)=M(\frac{a + b}{2},\sqrt{a b})

czyli w szczególności dla 0<x<1

M(1-x,1+x)=M(1,\sqrt{1-x^2})

Obecnie średnią arytmetyczno-geometryczną Gaussa wykorzystuje się w przeróżnych algorytmach służących do obliczania liczby π, z których najważniejszym wydaje się być odnaleziony w 1976 przez E. Salamina i R. Brenta:

\pi=\frac{4[M(1,2^{-1/2})]^2}{1-\sum^{\infty}_{j=1}2^{j+1}c^{2}_{j}}

gdzie

c_n = \frac{1}{2}(a_n - b_n)

oraz a0 = 1 i b0 = : \frac{1}{\sqrt{2}},a an i bn dla n > 0 otrzymujemy z wzorów powyżej.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • L. Berggren, J. Borwein, P. Borwein, Pi: A Source Book, Springer-Verlag, 2000, ISBN 0-387-98946-3

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]