Średnia potęgowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Średnią potęgową rzędu k (lub średnią uogólnioną) n liczb a_{1}, a_{2}, ... , a_{n} nazywamy liczbę:

\mu_{k} = \sqrt[k]{\frac{a^{k}_{1}+a^{k}_{2}+...+a^{k}_{n}}{n}}

Istnieje również wariant nazywany ważoną średnią potęgową.

Powyższą definicję uzupełniamy dla k=-\infty, k=0 oraz k=+\infty w sposób następujący:

  • \mu_{-\infty} = \min(a_1, a_2, \dots, a_n),
  • \mu_0 = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n},
  • \mu_{+\infty} = \max(a_1, a_2, \dots, a_n).

Dla przykładu, średnią potęgową rzędu 3 liczb 1, 2, 3, 4, 5 jest:

\sqrt[3]{\frac{1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}}{5}}=\sqrt[3]{\frac{225}{5}}=\sqrt[3]{45}\approx3{,}56

Co warte podkreślenia, dla dowolnych dodatnich  a_{1}, a_{2}, \dots , a_{n} tak zdefiniowana funkcja \mu_k zmiennej k jest ciągła i niemalejąca na zbiorze \R \cup \{-\infty, +\infty\}, jeśli zaś dla jakichkolwiek i i j, zachodzi a_i\neq a_j, jest ona nawet rosnąca (wynika to wprost z nierówności między średnimi potęgowymi).

Średnie potęgowe niektórych rzędów mają własne nazwy:

rząd nazwa
–1
średnia harmoniczna
0
średnia geometryczna
1
średnia arytmetyczna
2
średnia kwadratowa

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]