Średnia potęgowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Średnią potęgową rzędu k (lub średnią uogólnioną) $n$ liczb $a_{1}, a_{2}, ... , a_{n}$ nazywamy liczbę:

$\mu_{k} = \sqrt[k]{\frac{a^{k}_{1}+a^{k}_{2}+...+a^{k}_{n}}{n}}$

Istnieje również wariant nazywany ważoną średnią potęgową.

Powyższą definicję uzupełniamy dla $k=-\infty$ , $k=0$ oraz $k=+\infty$ w sposób następujący:

$\mu_{-\infty} = \min(a_1, a_2, \dots, a_n),$
$\mu_0 = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n},$
$\mu_{+\infty} = \max(a_1, a_2, \dots, a_n).$

Dla przykładu, średnią potęgową rzędu 3 liczb 1, 2, 3, 4, 5 jest:

$\sqrt[3]{\frac{1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}}{5}}=\sqrt[3]{\frac{225}{5}}=\sqrt[3]{45}\approx3,56$

Co warte podkreślenia, dla dowolnych dodatnich $a_{1}, a_{2}, ... , a_{n}$ tak zdefiniowana funkcja $\mu_k$ zmiennej $k$ jest ciągła i niemalejąca na zbiorze $\R \cup \{-\infty, +\infty\}$ , jeśli zaś dla jakichkolwiek $i$ i $j$ , zachodzi $a_i\neq a_j$ , jest ona nawet rosnąca (wynika to wprost z nierówności między średnimi potęgowymi).