σ-pierścień

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

σ-pierścień – w matematyce niepusta rodzina zbiorów \mathcal R zamknięta ze względu na przeliczalne sumy i dopełnienia, tzn.

  • \bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal R, \mbox{ gdy } A_n \in \mathcal R \mbox { dla wszystkich } n \in \mathbb N;
  • A \setminus B \in \mathcal R, \mbox{ gdy } A, B \in \mathcal R.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Z powyższych dwóch własności wynika wprost, iż

\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal R, \mbox{ gdy } A_n \in \mathcal R \mbox{ dla wszystkich } n \in \mathbb N

ponieważ

\bigcap_{n=1}^\infty A_n = A_1 \setminus \bigcup_{n=1}^\infty (A_1 \setminus A_n).

Jeżeli pierwszą własność osłabi się do zamknięcia ze względu na skończone sumy, tzn.

A \cup B \in \mathcal R, \mbox{ o ile tylko } A, B \in \mathcal R,

ale nie na przeliczalne, to \mathcal R jest pierścieniem, lecz nie σ-pierścieniem zbiorów.

Jeśli nie wymaga się, aby zbiór uniwersalny był mierzalny, to do zbudowania teorii miary i całki zamiast σ-ciał można wykorzystać σ-pierścienie. Każde σ-ciało jest σ-pierścieniem, lecz σ-pierścień nie musi być σ-ciałem.

Każdy σ-pierścień indukuje σ-algebrę: jeżeli \mathcal R jest σ-pierścieniem nad zbiorem X, to rodzina wszystkich podzbiorów X, które są elementami \mathcal R, bądź których dopełniania są elementami \mathcal R jest σ-algebrą nad zbiorem X.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Walter Rudin, 1976. Principles of Mathematical Analysis, 3rd. ed. McGraw-Hill. W ostatnim rozdziale autor korzysta z σ-pierścieni do budowy teorii Lebesgue'a.