−1

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z −1 (liczba))
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
−1
−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
dwójkowo …11[1]
ósemkowo …77[1]
szesnastkowo …FF[1]

−1 (minus jeden) – liczba całkowita poprzedzająca 0 i przeciwna do 1.

Jest to jednen ze składników tożsamości Eulera ponieważ

e^{i \pi} = -1

W informatyce wartość −1 jest powszechnie stosowaną wartością początkową dla liczb całkowitych jak również służy też do wskazywania, że zmienna nie zawiera jeszcze żadnych przydatnych informacji.

Własności algebraiczne[edytuj | edytuj kod]

Mnożenie przez −1 jest równoważne zmianie znaku liczby. Można to udowodnić korzystając z prawa rozdzielności i aksjomatu, że 1 jest elementem neutralnym mnożenia: dla danej liczby rzeczywistej zachodzi

x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0 \cdot x=0

stąd wynika, że (−1) · x jest liczbą przeciwną do x, czyli −x.

Kwadrat liczby -1[edytuj | edytuj kod]

Kwadrat liczby −1, tj. −1 razy −1 równa się 1. Wynika stąd, że iloczyn ujemnych liczb rzeczywistych jest dodatni.

Algebraiczny dowód rozpoczyna równanie

0 =-1\cdot 0 =-1\cdot [1+(-1)]

Druga równość pochodzi z definicji, że −1 jest liczbą przeciwną do 1. Korzystając z prawa rozdzielności otrzymujemy

0 =-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot1+(-1)\cdot(-1)=-1+(-1)\cdot(-1)

Druga równość jest konsekwencją faktu, że 1 jest elementem neutralnym mnożenia. Po dodaniu 1 do obu stron równości wynika, że

(-1) \cdot (-1) = 1

Powyższa równość zachodzi w każdym pierścieniu.

Pierwiastek kwadratowy z liczby −1[edytuj | edytuj kod]

Liczba zespolona i spełnia i2 = −1, i jest ona traktowana jako pierwiastek kwadratowy z liczby −1. Jedyną inna liczbą zespoloną x spełniającą równanie x2 = −1 jest −i. W algebrze kwaternionów, zawierającą płaszczyznę zespoloną, równianie x2 = −1 ma nieskończenie wiele rozwiązań[2].

Potęgowanie do liczby ujemnej[edytuj | edytuj kod]

Potęgowanie liczby rzeczywistej różnej od zera można rozszerzyć na liczby ujemne. Definiuje się że

x^{-1} = \frac{1}{x}

co oznacza, że podnoszenie do potęgi −1 jest równoważne znalezieniu liczby odwrotnej. Następnie definicję tę rozszerza się na pozostałe liczby ujemne korzystając z reguły

x^a x^b = x^{(a+b)}

gdzie a i b to dowolne różne od zera liczby rzeczywiste.

Potęgowanie do liczby ujemnej można rozszerzyć na odwracalne elementy pierścienia, przez zdefiniowanie x−1 jako elementu odwrotnego do x.

Zapis cyfrowy[edytuj | edytuj kod]

Są różne metody kodowania wartości −1 (a w ogólności liczb ujemnych) w technice cyfrowej. Najbardziej powszechnym jest kod uzupełnień do dwóch. Ponieważ zapis ten może również oznaczać dodatnią liczbę w standardowym zapisie binarnym, należy uważać aby ich nie pomylić. Minus jeden w kodzie uzupełnień do dwóch jest identyczne z dodatnią liczbą 2n − 1, gdzie n jest liczbą bitów jaka jest wykorzystywana do zapisu wartości. Na przykład 111111112 (dwójkowo) i FF16 (szesnastkowo) w kodzie uzupełnień do dwóch oznacza −1, ale również 255 w zapisie standardowym.

Przypisy