*-pierścień

*-pierścień – pierścień (łączny) A z dodatkowym działaniem unarnym, nazywanym inwolucją i oznaczanym symbolem *, spełniającym warunki

• $(x + y)^* = x^* + y^*\,$,
• $(x y)^* = y^* x^*\,$,
• $(x^*)^* = x\,$

dla wszystkich elementów $x$ i $y$ pierścienia $A$. *-pierścień, który jest algebrą nad innym *-pierścieniem (najczęściej po prostu nad ciałem liczb zespolonych ze sprzężeniem zespolonym jako inwolucją) nazywa się *-algebrą.

Jeżeli $A$ i $B$ są *-algebrami to homomorfizm algebr $h\colon A\to B$ nazywa się *-homomorfizmem, gdy

$h(a^*)=(h(a))^*\,$

dla wszystkich elementów $a$ algebry $A$.

Element $a$ pierścienia $A$ nazywa się samosprzężonym, gdy $a^* = a$.

Przykłady

• Wspomianiym wyżej naturalnym przykładem *-pierścień (i trywialnie *-algebry jako algebry nad samym sobą) jest ciało liczb zespolonych ze sprzężeniem jako inwolucją.
• Algebra macierzy kwadratowych stopnia n nad ciałem liczb zespolonych z inwolucją będącą sprzężeniem hermitowskim macierzy jest przykładem *-algebry. Ogólniej, dla danej przestrzeni Hilberta $H$, algebra wszystkich ograniczonych operatorów liniowych na $H$ z inwolucją będącą przyporządkowaniem operatora sprzężonego, jest *-algebrą.
• Iloczyn tensorowy $A\otimes B$ *-algebr $A$ i $B$ jest *-algebrą oraz dla $a\in A$ i $b\in B$ zachodzi warunek

$(a\otimes b)^*=a^*\otimes b^*$.

Zobacz też

• C*-algebra
• algebra von Neumanna
• pierścień Baera
• algebra operatorów

Bibliografia

• H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Claren- don Press, Oxford, 2000, ss. 142-150.