Szereg 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + …

Ilustracja Archimedesa dla a = 3/4

Szereg 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … – nieskończony zbieżny szereg geometryczny. Jest on jednym z pierwszych zsumowanych szeregów nieskończonych w historii matematyki. Dokonał tego Archimedes około 250-200 roku p.n.e. Jego suma to ${\tfrac {1}{3}}.$ Uogólniając, dla dowolnego a, szereg utworzony z wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie ${\tfrac {1}{4}}$ jest zbieżny do sumy:

$a+{\frac {a}{4}}+{\frac {a}{4^{2}}}+{\frac {a}{4^{3}}}+\ldots ={\frac {4}{3}}a.$

Prezentacja graficzna

3s = 1

Szereg 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … nadaje się do prostej wizualizacji ponieważ kwadrat i trójkąt łatwo podzielić na cztery podobne części, których pole to ${\tfrac {1}{4}}$ oryginału.

Na ilustracji po lewej, jeśli duży kwadrat ma pole 1, to największy czarny kwadrat ma pole (1/2)(1/2)=(1/4). Podobnie, kolejny czarny kwadrat ma pole 1/16, a trzeci to 1/64. Stąd pole wszystkich czarnych kwadratów wynosi 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 +…, które jest takie samo jak pole kwadratów szarych i białych. Ponieważ te trzy obszary obejmują cały kwadrat jednostkowy, to ilustracja prezentuje, że:

3s = 1 ponownie

$3\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\ldots \right)=1.$

Archimedes zastosował nieco inną formę graficznego dowodu, zaprezentowaną powyżej, którą można opisać równaniem:

${\frac {3}{4}}+{\frac {3}{4^{2}}}+{\frac {3}{4^{3}}}+{\frac {3}{4^{4}}}+\ldots =1.$

Interpretacja Archimedesa jest przedstawiona poniżej.

Taką samą technikę geometryczną można zastosować w trójkątach, co jest pokazane na ilustracji po prawej. Jeśli duży trójkąt ma pole 1, to największy czarny trójkąt ma pole 1/4 itd. Ilustracja zawiera samopodobieństwo pomiędzy dużym trójkątem a górnym ćwierć-trójkątem. Podobną konstrukcję, w której trzy rogi są do siebie podobne przedstawia trójkąt Sierpińskiego.

Archimedes

Krzywa jest parabolą. Punkty na cięciwie AE są rozmieszczone w równych odstępach. Archimedes wykazał, że suma pól trójkątów ABC i CDE to 1/4 pola trójkąta ACE. Następnie skonstruował kolejną warstwę czterech trójkątów powyżej pozostałych, których suma pól wyniosła 1/4 sumy pól trójkątów ABC i CDE. Pole kolejnej ósemki trójkątów miało pole 1/4 sumy pól poprzednich czterech itd. Wysunął więc wniosek, że pole pomiędzy cięciwą a krzywą wynosi 4/3 pola trójkąta ACE.

Archimedes uzyskał ten szereg w swojej pracy Kwadratura paraboli. Podczas wyznaczania pola ograniczonego parabolą za pomocą metody wyczerpywania uzyskał szereg trójkątów; na każdym etapie konstrukcji przyrost pola wynosił 1/4 wartości z poprzedniego etapu. Jego oczekiwany wynik całkowitej powierzchni to 4/3 powierzchni uzyskanej w pierwszym etapie. Aby to osiągnąć zdefiniował następujący lemat algebraiczny:

Twierdzenie 23. Mając dany szereg powierzchni A, B, C, …, Z, z których A jest największa i każda z nich jest cztery razy większa niż następna w kolejności to

$A+B+C+D+\ldots +Z+{\frac {1}{3}}Z={\frac {4}{3}}A.$

Archimedes udowodnił to twierdzenie wstępnie, obliczając

${\begin{aligned}&\displaystyle B+C+\ldots +Z+{\frac {B}{3}}+{\frac {C}{3}}+\ldots +{\frac {Z}{3}}\\[1ex]={}&\displaystyle {\frac {4B}{3}}+{\frac {4C}{3}}+\ldots +{\frac {4Z}{3}}\\[1ex]={}&\displaystyle {\frac {1}{3}}(A+B+\ldots +Y).\end{aligned}}$

Z drugiej strony

${\frac {B}{3}}+{\frac {C}{3}}+\ldots +{\frac {Y}{3}}={\frac {1}{3}}(B+C+\ldots +Y).$

Odejmując to równanie od poprzedniego, otrzymujemy

$B+C+\ldots +Z+{\frac {Z}{3}}={\frac {1}{3}}A$

i dodając $A$ do obu stron, uzyskujemy oczekiwany wynik.

Obecnie, bardziej standardowym wyrażeniem na twierdzenie Archimedesa jest to, że sumy częściowe szeregu 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … wynoszą:

$1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{4^{n}}}={\frac {1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{4}}}}.$

Ta forma może być udowodniona przez pomnożenie obu stron przez 1 – 1/4 i zauważeniu, że wszystkie składniki, z wyjątkiem pierwszego i ostatniego, po lewej stronie równania się parami znoszą. Taka sama technika ma zastosowanie dla skończonych szeregów geometrycznych.

Granica

W twierdzeniu 24 Archimedes stosuje skończoną (ale nieokreśloną) sumę z twierdzenia 23 dla pola wewnątrz paraboli przez podwójny dowód nie wprost. Archimedes nie do końca obliczył granicę powyższej sumy częściowej, lecz stosując współczesne metody rachunkowe, jest to dość prosty krok:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {4}{3}}.$

Ponieważ suma nieskończonego szeregu jest zdefiniowana przez granicę jego sum częściowych

$1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\ldots ={\frac {4}{3}}.$

Bibliografia

Źródła starożytne

• Archimedes, The works of Archimedes, Thomas LittleT.L. Heath (red.), J.L.J.L. Heiberg, Unabridged reissue of the Heath edition of 1897 with supplement of 1912; ed. in modern notation with introductory chapter by T.L. Heath ; with a supplement „The method of Archimedes” recently discovered by Heiberg., New York; Cambridge: Dover Publications; Cambridge University Press, 1953, OCLC 601012279  (ang.).; obrazy stron wydania z 1897 na stronie: Bill Casselman: Archimedes’ quadrature of the parabola. [dostęp 2015-12-11]. [zarchiwizowane z tego adresu (2012-03-20)].; HTML z ilustracjami i komentarzem na stronie: Daniel E. Otero: Archimedes of Syracuse. 2002. [dostęp 2007-03-22]. [zarchiwizowane z tego adresu (2007-03-07)].

Źródła współczesne

• SundayS. Ajose SundayS., RogerR. Nelsen RogerR., Proof without Words: Geometric Series, „Mathematics Magazine”, 67 (3), 1994, s. 230, DOI: 10.2307/2690617, OCLC 6067243426, JSTOR: 2690617 .
• ClaudiC. Alsina ClaudiC., Roger B.R.B. Nelsen Roger B.R.B., Math made visual creating images for understanding mathematics, Washington, DC: Mathematical Association of America, 2006, ISBN 0-88385-746-4  (ang.).
• RickR. Mabry RickR., Proof without Words: ¹⁄₄ + (¹⁄₄)² + (¹⁄₄)³ + … = ¹⁄₃, „Mathematics Magazine”, 72 (1), luty 1999, s. 63, OCLC 6067137297, JSTOR: 2691318 .
• BruceB. Shawyer BruceB., BruceB. Watson BruceB., Borel’s methods of summability: theory and applications, Oxford; New York: Clarendon Press; Oxford University Press, 1994, ISBN 0-19-853585-6, OCLC 30511835  (ang.).
• Sherman K.S.K. Stein Sherman K.S.K., Archimedes: what did he do besides cry eureka?, Washington, DC: Mathematical Association of America, 1999, ISBN 0-88385-718-9, OCLC 42194474  (ang.).
• GordonG. Swain GordonG., ThomasT. Dence ThomasT., Archimedes’ Quadrature of the Parabola Revisited, „Mathematics Magazine”, 71 (2), 1998, s. 123–130, DOI: 10.2307/2691014, OCLC 6067023131, JSTOR: 2691014 .;