Aksjomat determinacji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Aksjomat determinacji – zdanie w teorii mnogości postulujące zdeterminowanie pewnych gier nieskończonych.

W literaturze matematycznej istnieje cała rodzina aksjomatów determinacji, do najpopularniejszych należy jednak aksjomat AD, którego nie można udowodnić na gruncie aksjomatów ZF i który implikuje, że aksjomat wyboru jest fałszywy. Niesprzeczność AD jest równoważna z niesprzecznością istnienia pewnych dużych liczb kardynalnych.

W dalszej części tego artykułu będziemy używać oznaczeń i definicji wprowadzonych w artykule o grach nieskończonych.

Rys historyczny[edytuj | edytuj kod]

Aksjomat i jego wersje[edytuj | edytuj kod]

Definicje wstępne[edytuj | edytuj kod]

Przypomnijmy następujące definicje:

  • Niech {\mathcal X} będzie zbiorem o przynajmniej dwóch elementach oraz niech A\subseteq {\mathcal X}^\omega. Gra \Game^{\mathcal X}(A) pomiędzy graczami I i II jest zdefiniowana jako proces, w wyniku którego gracze konstruują ciąg nieskończony \eta=\langle\eta(n):n\in\omega\rangle\in {\mathcal X}^\omega o wyrazach w {\mathcal X} w taki sposób, że po tym jak już \eta\upharpoonright n=\langle\eta(k):k<n\rangle zostało wybrane, to
jeśli n jest parzyste, to gracz I wybiera \eta(n), a
jeśli n jest nieparzyste, to gracz II wybiera \eta(n).
Po wykonaniu wszystkich ω kroków, kiedy gracze zbudowali ciąg \eta=\langle\eta(n):n\in\omega\rangle\in {\mathcal X}^\omega, powiemy, że gracz I wygrał partię η jeśli \eta\in A.
  • Strategia dla gracza I to funkcja \sigma:\bigcup\limits_{k\in\omega} {\mathcal X}^{2k}\longrightarrow {\mathcal X}. Powiemy, że ciąg \eta\in {\mathcal X}^\omega jest zgodny ze strategią σ jeśli (\forall k\in\omega)(\eta(2k)=\sigma(\eta\upharpoonright 2k)). Strategia σ dla gracza I jest strategią zwycięską gracza I w \Game^{\mathcal X}(A), jeśli każdy ciąg η zgodny z σ należy do zbioru A.
  • Strategia dla gracza II to funkcja \tau:\bigcup\limits_{k\in\omega} {\mathcal X}^{2k+1}\longrightarrow {\mathcal X}. Powiemy, że ciąg \eta\in {\mathcal X}^\omega jest zgodny ze strategią τ jeśli (\forall k\in\omega)(\eta(2k+1)=\tau(\eta\upharpoonright (2k+1))). Strategia τ dla gracza II jest strategią zwycięską gracza II w \Game^{\mathcal X}(A) jeśli żaden ciąg η zgodny z τ nie należy do zbioru A.
  • Powiemy że gra \Game^{\mathcal X}(A) jest zdeterminowana, jeśli jeden z graczy ma strategię zwycięską.

Aksjomaty determinacji[edytuj | edytuj kod]

  • Aksjomat determinacji AD to zdanie
dla każdego zbioru A\subseteq \omega^\omega gra \Game^\omega(A) jest zdeterminowana.
  • Aksjomat determinacji rzeczywistej {\bold{AD}}_{\mathbb R} to zdanie
dla każdego zbioru A\subseteq {\mathbb R}^\omega gra \Game^{\mathbb R}(A) jest zdeterminowana

(gdzie {\mathbb R} oznacza zbiór liczb rzeczywistych).

  • Aksjomat determinacji rzutowej PD to zdanie
dla każdego zbioru rzutowego A\subseteq \omega^\omega gra \Game^\omega(A) jest zdeterminowana.

Konsekwencje[edytuj | edytuj kod]

  • {\bold{AD}}_{\mathbb R} implikuje AD.
  • Następujące stwierdzenia są konsekwencjami AD:
  1. Każdy podzbiór liczb rzeczywistych ma własność Baire'a.
  2. Każdy podzbiór liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie miary Lebesgue'a.
  3. Każdy nieprzeliczalny podzbiór liczb rzeczywistych zawiera podzbiór doskonały.
  4. Dla każdego x\subseteq\omega, \aleph_1 jest liczbą nieosiągalną w {\bold{L}}[x].
  5. \aleph_1 jest liczbą mierzalną (a nawet filtr generowany przez cluby jest ultrafiltrem).
  6. \aleph_2 jest liczbą mierzalną.
  • Następujące stwierdzenia są konsekwencjami PD:
  1. Każdy rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych ma własność Baire'a.
  2. Każdy rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie miary Lebesgue'a.
  3. Każdy nieprzeliczalny rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych zawiera podzbiór doskonały.
  • Jeśli istnieje nieskończenie wiele liczb Woodina z liczbą mierzalną powyżej ich, to
  1. {\bold{L}}({\mathbb R})\models {\bold{AD}} oraz
  2. PD jest prawdziwe.
  • Teoria "ZF+AD" jest niesprzeczna wtedy i tylko wtedy, gdy niesprzeczna jest teoria "ZFC+ istnieje nieskończenie wiele liczb Woodina".

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Mycielski, Jan; Steinhaus, H.: A mathematical axiom contradicting the axiom of choice. "Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys." 10 (1962), s. 1-3
  2. Mycielski, Jan i Świerczkowski, Stanisław: On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness. "Fundamenta Mathematicae". 54 (1964), s. 67-71.
  3. Mycielski, Jan: On the axiom of determinateness. "Fundamenta Mathematicae" 53 (1963/1964), s. 205-224.
  4. Mycielski, Jan: On the axiom of determinateness. II. "Fundamenta Mathematicae" 59 (1966), s. 203-212
  5. Martin, Donald A.: Measurable cardinals and analytic games. "Fundamenta Mathematicae" 66 (1969/1970), s. 287-291.
  6. Martin, Donald A.: Borel determinacy. "Ann. of Math." (2) 102 (1975), nr 2, s. 363-371.
  7. Martin, Donald A.: A purely inductive proof of Borel determinacy. "Recursion theory (Ithaca, N.Y., 1982)", Proc. Sympos. Pure Math., 42 (1985). s. 303-308.
  8. Woodin, W. Hugh: Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees. "Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A." 85 (1988), s. 6587-6591.
  9. Martin, Donald A., Steel, John R.: A proof of projective determinacy. "J. Amer. Math. Soc." 2 (1989), s. 1, 71-125.
  10. Woodin, W. Hugh: The axiom of determinacy, forcing axioms, and the nonstationary ideal. "de Gruyter Series in Logic and its Applications", 1. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1999. ISBN 3-11-015708-X