Aksjomat pary

Aksjomat pary to jeden z aksjomatów teorii mnogości Zermelo Fraenkela. Stwierdza on istnienie dla dowolnych dwóch elementów zbioru złożonego wyłącznie z tych dwóch elementów.

Postać formalna

Dla dowolnych zbiorów A i B istnieje zbiór C, którego jedynymi elementami są A i B. Formalnie:

$\forall A\ \forall B\ \exist C\ \forall D\ (D\in C \iff D=A \or D=B)$

Korzystając z aksjomatu ekstensjonalności, łatwo można pokazać istnienie dokładnie jednego takiego zbioru dla dowolnych danych A i B. Zbiór ten nazywamy parą A i B i oznaczamy {A, B}.

Uwaga

Jeśli ograniczyć zakres rozważanych zbiorów do podzbiorów pewnego ustalonego z góry zbioru X i wybrać dwa takie podzbiory, tzn. niech

$A, B \in X$

to wówczas do utworzenia pary z tych zbiorów nie jest potrzebny aksjomat pary. Możemy to zrobić, korzystając jedynie z aksjomatu wyróżniania. Mianowicie rozważmy funkcję zdaniową:

$\varphi(D): D = A \or D = B$

wtedy istnieje zbiór:

$\{A, B\}=\{D \in X: \varphi(D)\}$

Dalsze konstrukcje

Mając już daną parę zbiorów, możemy teraz zdefiniować zbiór złożony tylko z jednego elementu A

{A} = {A, A}

Zbiór {A} należy oczywiście odróżniać od zbioru A. Mając dane zbiory A, B, C, możemy zatem skonstruować zbiory {A, B},{C} i dalej wobec aksjomatu pary {{A, B},{C}}. Korzystając z aksjomatu sumy, otrzymamy stąd zbiór {A, B, C}. Postępując dalej analogicznie, możemy definiować zbiory złożone z trzech, czterech, itd. elementów.

Aksjomat pary pozwala także zdefiniować tzw. parę uporządkowaną zbiorów A i B wzorem:

$\langle A, B \rangle = \{\{ A \},\{ A, B \}\}$