Aksjomaty Zermelo-Fraenkela

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Aksjomaty Zermelo-Fraenkela, w skrócie: aksjomaty ZF – powszechnie przyjmowany system aksjomatów zaproponowany przez Ernsta Zermelo w 1904 roku, który został później uzupełniony przez Abrahama Fraenkela.

Dodając do ZF aksjomat wyboru, bądź zdanie mu równoważne, otrzymuje się teorię ZFC.

Historia[edytuj | edytuj kod]

w 1908 r. Ernst Zermelo zaproponował pierwszy zestaw aksjomatów teorii mnogościteorię mnogości Zermelo. Ta aksjomatyczna teoria nie umożliwiała konstrukcji liczb porządkowych. Choć większość „zwykłej matematyki” można wyprowadzić bez ich używania, to jednak liczby porządkowe są nieodzowne w większości badań teorio-mnogościowych. Ponadto, jeden z aksjomatów Zermelo odwoływał się do bliżej niewyjaśnionego pojęcia „określonej” właściwości. W 1922 r. Abraham Fraenkel i Thoralf Skolem, niezależnie, zaproponowali uściślenie pojęcia „określoności” właściwości jako takich, które mogą zostać sformułowane w rachunku predykatów z równością, w którym jedynym symbolem spoza logiki jest binarny predykat należenia do, oznaczany symbolem ∈. Również niezależnie od siebie, zaproponowali oni zastąpienie aksjomatu podzbiorów przez aksjomat zastępowania. Przez zastosowanie wspomnianego schematu oraz dodanie aksjomatu regularności, zaproponowanego przez Zermelo w 1930 roku, do teorii mnogości Zermelo, otrzymuje się teorię ZF. Dodając do ZF aksjomat wyboru, bądź zdanie mu równoważne, otrzymuje się teorię ZFC.

Aksjomaty Zermelo-Fraenkela[edytuj | edytuj kod]

Aksjomat ekstensjonalności[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Główny artykuł: Aksjomat ekstensjonalności.
Jeżeli zbiory a i b mają te same elementy, to są identyczne:
\forall a\; \forall b\; \left(\forall x\; (x \in a \Leftrightarrow x \in b) \Rightarrow a = b\right)

Aksjomat zbioru pustego[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Główny artykuł: Aksjomat zbioru pustego.
Istnieje zbiór, który nie ma żadnego elementu:
\exist x\; \forall y\; \neg(y \in x)
Na mocy aksjomatu ekstensjonalności istnieje tylko jeden zbiór posiadający taką właściwość – zbiór pusty, oznaczany symbolem \emptyset

Aksjomat podzbiorów[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Główny artykuł: Aksjomat podzbiorów.
Inne nazwy: aksjomat wyróżniania, aksjomat wycinania.
Dla każdego zbioru b istnieje zbiór a, złożony z tych i tylko tych elementów x zbioru b, które mają własność \varphi:
\forall p_1 \dots \forall p_n\; \forall b\; \exist a\; \forall x\; \bigg(x \in a \Leftrightarrow \Big(x \in b \and \varphi(x, b, p_1, \dots , p_n)\Big) \bigg)
Aksjomat podzbiorów daje się wyprowadzić z aksjomatu zbioru pustego i aksjomatu zastępowania.

Aksjomat pary[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Główny artykuł: Aksjomat pary.
Dla dowolnych zbiorów a i b istnieje zbiór c, którego elementami są dokładnie zbiory a oraz b:
\forall a\; \forall b\; \exist c\; \forall x\; \Big(x \in c \Leftrightarrow (x = a \or x = b)\Big)

Aksjomat sumy[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Główny artykuł: Aksjomat sumy.
Dla dowolnej rodziny zbiorów r istnieje zbiór u, do którego należą dokładnie te elementy x, które należą do co najmniej jednego spośród zbiorów, które są elementami rodziny r:
\forall r\; \exist u\; \forall x\; \Big(x \in u \Leftrightarrow \exist a\; (x \in a \and a \in r)\Big)

Aksjomat zbioru potęgowego[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Główny artykuł: Aksjomat zbioru potęgowego.
Dla każdego zbioru x istnieje zbiór p, którego elementami są dokładnie podzbiory zbioru x:
\forall x\; \exist p\; \forall z\; \Big(z \in p \Leftrightarrow \forall y\; (y \in z \Rightarrow y \in x)\Big)

Aksjomat nieskończoności[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Główny artykuł: Aksjomat nieskończoności.
Istnieje zbiór induktywny:
\exist x\; \Bigg(\exist a\; \Big(a \in x \and \forall b\; \neg(b \in a)\Big)
\and \forall c \bigg( c\in x\Rightarrow \exist d\; \Big(d \in x \and \forall e\; \big(e \in d \Leftrightarrow (e \in c \or e = c)\big)\Big)\bigg)\Bigg)
Istnieje wiele takich zbiorów.
Część wspólna wszystkich takich zbiorów jest najmniejszym zbiorem o tych właściwościach i określa zbiór liczb naturalnych.

Aksjomat zastępowania[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Główny artykuł: Aksjomat zastępowania.
Aksjomat podzbiorów jest jego słabszą wersją.
Jeżeli dla każdego x istnieje dokładnie jeden y, dla którego zachodzi  \Theta (x,y), to dla dowolnego zbioru X istnieje taki zbiór Y, że:
\forall y\; \bigg(y \in Y \Leftrightarrow \exist x\in X\; \Big(\Theta(x,y)\Big)\bigg)
\forall p_1 \dots \forall p_n\; \forall X\; \Bigg(\forall x\; \exist! y\; \Theta(x, y, X, p_1, \dots , p_n)
\Rightarrow \exist Y\; \forall y\; \bigg(y \in Y \Leftrightarrow \exist x\; \Big(x \in X \and \Theta(x, y, X, p_1, \dots, p_n) \Big)\bigg)\Bigg)
przy czym: \exist! y\; w(y) \Leftrightarrow ((\exist y)(\forall x)\; \left(w(x) \Leftrightarrow x = y\right))

Aksjomat regularności[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Główny artykuł: Aksjomat regularności.
Inna nazwa: aksjomat ufundowania.
Każdy niepusty zbiór x ma element rozłączny z x:
\forall x\; \Bigg(x \neq \emptyset \Rightarrow \exist y\; \bigg(y \in x \and \neg\Big(\exist z\; (z \in x \and z \in y)\Big)\bigg)\Bigg)
Jest on niezależny od pozostałych aksjomatów. Rozważane są teorie, w których jako aksjomat przyjmuje się jego negację. Występujące w takich teoriach nieufundowane zbiory noszą nazwę hiperzbiorów.

Aksjomat wyboru[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Główny artykuł: Aksjomat wyboru.
Aksjomat wyboru nie należy do aksjomatyki ZF, ale dodanie go tworzy najpowszechniejsze jej rozszerzenie - ZFC.
Dla dowolnej rodziny r zbiorów niepustych parami rozłącznych istnieje selektor s (zbiór, do którego należy dokładnie jeden element z każdego zbioru należącego do rodziny).
\forall r\; \Bigg(\forall a\; (a \in r \Rightarrow a \neq \emptyset)
\and \forall a\; \forall b\; \bigg(\Big(a \in r \and b \in r \and a \neq b\Big) \Rightarrow \neg\Big(\exist x\; (x \in a \and x\in b)\Big)\bigg)
\Rightarrow \exist s\; \forall a\; \Big(a \in r \Rightarrow \exist! y\; (y \in s \and y \in a)\Big)\Bigg)
przy czym: \exist! y\; w(y) \Leftrightarrow ((\exist y)(\forall x)\; \left(w(x) \Leftrightarrow x = y\right))
Za pomocą pozostałych aksjomatów można udowodnić równoważność tego aksjomatu z lematem Kuratowskiego-Zorna oraz twierdzeniem, że w każdym zbiorze istnieje relacja dobrego porządku, a także z aksjomatem multiplikacji głoszącym, że dla dowolnej indeksowanej rodziny niepustych zbiorów \langle a_i\colon i \in i \rangle istnieje funkcja wyboru
\ (f:i\rightarrow \bigcup_{i\in i} a_i) taka, że:
f(i)\in a_i dla wszystkich  i\in i.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki: wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: PWN, 2005. ISBN 83-01-14415-7.
  • Agnieszka Wojciechowska: Elementy logiki i teorii mnogości. Warszawa: PWN, 1979. ISBN 83-01-00756-7.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]