Algebra Banacha

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Algebra Banachaprzestrzeń Banacha z określonym dodatkowym działaniem mnożenia wraz z którym tworzy algebrę nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych oraz spełnia warunek

\|x\cdot y\| \leqslant \|x\| \|y\|

dla wszystkich jej elementów x,y. Definicja ta ma również sens dla przestrzeni unormowanych, które niekoniecznie są zupełne - w takim przypadku mówi się o algebrach unormowanych. Jeżeli działanie mnożenia jest przemienne to mówi się odpowiednio o przemiennych algebrach unormowanych i przemiennych algebrach Banacha.

W ogólnym przypadku, algebra nad ciałem liczb zespolonych może nie mieć jedynki - skrajnym przykładem jest dowolna przestrzeń liniowa A z mnożeniem określonym wzorem xy = 0 dla dowolnych x, y \in A (jeżeli A jest przestrzenią Banacha, to jest ona przykładem algebry Banacha, w której jedynka nie może być aproksymowana - tzn. nie istnieje ciąg (e_n)_{n\in \mathbb{N}} o wyrazach z przestrzeni A o tej własności, że \|e_n\|=1 dla każdej liczby naturalnej n oraz

\lim_{n \to \infty}~\|e_n \cdot a - a\| = \lim_{n\to\infty}~\|a \cdot e_n - a\| = 0,\; a\in A.

Pojęcie algebry Banacha wprowadził w 1936 roku Mitio Nagumo[1].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Jest to przykład algebry Banacha bez jedynki, którą jednak można aproksymować w takim sensie, iż istnieje ciąg (e_n)_{n\in \mathbb{N}} o wyrazach z przestrzeni L^1(\mathbb R) o tej własności, że \|e_n\|=1 dla każdej liczby naturalnej n oraz
\lim_{n \to \infty}~\|e_n * f - f\| = \lim_{n\to\infty}~\|f * e_n - f\| = 0
dla każdej funkcji f\in L^1(\mathbb{R}). Ogólniej, dla każdej lokalnie zwartej grupy topologicznej Hausdorffa z określoną na niej miarą Haara \mu, przestrzeń L^1(G) funkcji \mu-całkowalnych na G z działaniem mnożenia splotowego określonego niżej jest algebrą Banacha:
(xy)(g) = \int\limits_G x(h) y\left(h^{-1}g\right) d\mu(h),\; x, y \in L^1(G).
  • Przykładem skończenie wymiarowej algebry Banacha jest przestrzeń macierzy kwadratowych stopnia n z działaniem zwykłego mnożenia macierzy i dowolną normą macierzową, np. daną wzorem
\bigl\|(a_{ij})\bigr\|=\sum_{i,j=1}^n |a_{ij}|.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. William Arveson: A Short Course on Spectral Theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2001.

Przypisy

  1. Nagumo, Mitio: Einige analytische Untersuchunger in linearen metrischen Ringen, Japan J. Math. 13 (1936), ss. 61-80.