Algebra Boole’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Algebra Boole'a)
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Diagram Hassego dla algebry Boole'a podzbiorów zbioru trójelementowego

Algebra Boole'aalgebra ogólna stosowana w matematyce, informatyce teoretycznej oraz elektronice cyfrowej. Jej nazwa pochodzi od nazwiska matematyka, filozofa i logika George'a Boole'a. Teoria algebr Boole'a jest działem matematyki na pograniczu teorii częściowego porządku, algebry, logiki matematycznej i topologii.

Typowymi przykładami algebr Boole'a są: rodzina wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru wraz działaniami na zbiorach jako operacjami algebry oraz dwuelementowa algebra wartości logicznych {0, 1} z działaniami koniunkcji, alternatywy i negacji.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Algebra Boole'a to struktura algebraiczna {\mathbb B}:=(B,\cup,\cap,\sim,0,1), w której \cup i \capdziałaniami dwuargumentowymi, \sim jest operacją jednoargumentową, a 0 i 1 są wyróżnionymi różnymi elementami zbioru B\;, spełniająca następujące warunki dla wszystkich a,b,c\in B:

 a \cup (b \cup c) = (a \cup b) \cup c\  a \cap (b \cap c) = (a \cap b) \cap c\ łączność
 a \cup b = b \cup a\  a \cap b = b \cap a\ przemienność
 a  \cup (a \cap b) = a\  a  \cap (a \cup b) = a\ absorpcja
 a \cup (b \cap c) = (a \cup b) \cap (a \cup c)  a \cap (b \cup c) = (a \cap b) \cup (a \cap c) rozdzielność
 a\; \cup \sim a = 1\  a\; \cap \sim a = 0\ pochłanianie

Oznaczenia[edytuj | edytuj kod]

Różne oznaczenia
Suma Iloczyn Negacja
\cup \cap \sim
+ \cdot \overline{a}
+ \cdot -
\lor \land \lnot
| \& !
OR AND NOT

Istnieją co najmniej trzy różne, szeroko rozpowszechnione tradycje oznaczeń w teorii algebr Boole'a. W definicji sformułowanej powyżej użyto symboli \cup,\cap,\sim, ale w częstym użyciu są również +,\cdot,- oraz \lor,\land,\lnot. Symbole oznaczające operacje dwuczłonowe algebry Boole'a są prawie zawsze wprowadzane przez wybór jednej z par (+,\cdot), (\lor,\land) albo (\cup,\cap). W oznaczeniach operacji jednoargumentowej algebry istnieje mniejsza konsekwencja i można się spotkać zarówno z symbolami +,\cdot,\sim jak i \lor,\land,{}^\prime.

System oznaczeń przedstawiony powyżej (i dalej przyjmowany w tym artykule) jest używany np. w podręczniku Heleny Rasiowej.

W badaniach teoriomnogościowych aspektów algebr Boole'a przeważa tradycja używania oznaczeń (+,\cdot,-). Ten sam system został też wybrany za wiodący przez redaktorów monografii Handbook of Boolean Algebras.

Z kolei symbole \wedge,\vee zgodne z oznaczeniami w teorii krat są częściej używane w kontekstach algebraicznych (i teoriokratowych).

Spotykane są też inne kombinacje tychże symboli lub wręcz inne symbole (na przykład & w miejsce \cap, lub a^\prime zamiast \;\sim a). W elektronice i informatyce często stosuje się OR, AND oraz NOT w miejsce \cup, \cap oraz \sim. W języku C oraz w językach nim inspirowanych używa się odpowiednio symboli: |, &, !.

Minimalna aksjomatyzacja[edytuj | edytuj kod]

Powyższa (tradycyjna) definicja algebry Boole'a nie jest minimalna, np. nie jest konieczne wprowadzanie w niej symboli 0 i 1. Mogą one być konsekwencją aksjomatyki a nie niezbędną dla niej definicją. 0 można zastąpić przez \sim (x \cup (\sim x)) a 1 przez (x \cup (\sim x)). Dzięki prawom de Morgana można też z aksjomatyki wyeliminować działanie \cap lub \cup. (W istocie wszystkie działania można tak naprawdę zastąpić jednym – dysjunkcją (NAND) lub binegacją (NOR)).

Istnieją równoważne, ale oszczędniejsze definicje algebry Boole'a. Przykładowy układ niezależnych aksjomatów to:

Inny taki układ to:

Istnieją też systemy z jednym aksjomatem.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Najprostsza algebra Boole'a ma tylko dwa elementy, 0 i 1, a operacje tej algebry są zdefiniowane przez następujące tabele działań:

\cdot 0 1
0 0 0
1 0 1
+ 0 1
0 0 1
1 1 1
a \sim a
0 1
1 0

Algebra ta stanowi podstawę elektroniki cyfrowej.

Jeśli {\mathcal F} jest ciałem podzbiorów zbioru X, to ({\mathcal F},\cup,\cap,{}^\prime,\varnothing,X) jest algebrą Boole'a (gdzie {}^\prime oznacza operację dopełnienia).

Niech {\mathcal Z} będzie zbiorem zdań w rachunku zdań. Niech \equiv będzie relacją dwuargumentową na zbiorze {\mathcal Z} określoną jako:

\varphi\equiv\psi wtedy i tylko wtedy, gdy\varphi\Leftrightarrow\psi jest tautologią rachunku zdań.

Można sprawdzić, że \equiv jest relacją równoważności na zbiorze {\mathcal Z}. Na zbiorze X wszystkich klas abstrakcji [\varphi] relacji \equiv można wprowadzić operacje \cup,\cap,\sim przez następujące formuły:

[\varphi] \cup [\psi] := [\varphi\vee\psi],
[\varphi] \cap [\psi] := [\varphi\wedge\psi],
\sim[\varphi] := [\neg\varphi].

W ten sposób otrzymuje się poprawnie zdefiniowane operacje na zbiorze X (tzn. wynik nie zależy od wyboru reprezentantów klas abstrakcji), a (X,\cup,\cap,\sim,[p\wedge\neg p],[p\vee\neg p]) jest algebrą Boole'a. Algebra ta jest nazywana algebrą Lindenbauma-Tarskiego.

Algebry Lindenbauma-Tarskiego rozważa się również dla języków pierwszego rzędu. Niech {\bold Z} będzie zbiorem zdań w ustalonym alfabecie \tau i niech T\subseteq {\bold Z} będzie niesprzeczną teorią w tym samym języku. Relację dwuargumentową \equiv na zbiorze {\bold Z} można wprowadzić przez określenie

\varphi\equiv\psi wtedy i tylko wtedy, gdyT\vdash\varphi\Leftrightarrow\psi.

Wówczas \equiv jest relacją równoważności na zbiorze {\bold Z}. Podobnie jak wcześniej:

[\varphi] \cup [\psi] := [\varphi\vee\psi],
[\varphi] \cap [\psi] := [\varphi\wedge\psi],
\sim[\varphi] := [\neg\varphi].

Można pokazać, że ({\bold Z}/\equiv,\cup,\cap,\sim,[\psi\wedge\neg \psi]_\equiv,[\psi\vee\neg \psi]_\equiv) jest algebrą Boole'a.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Niech {\mathbb B}=(B,\cup,\cap,\sim,0,1) będzie algebrą Boole'a. Dla wszystkich a,b\in B zachodzi:

 a \cup a = a\
 a \cap a = a\
 a \cup 0 = a\
 a \cap 1 = a\
 a \cup 1 = 1\
 a \cap 0 = 0\
 \sim 0 = 1\
 \sim 1 = 0\

prawa De Morgana:

 \sim (a \cup b) = (\sim a)  \cap (\sim b)\
 \sim (a \cap b) = (\sim a)  \cup (\sim b)\

podwójne przeczenie:

 \sim (\sim a) = a\

Uporządkowanie[edytuj | edytuj kod]

W zbiorze B\; wprowadza się porządek boole'owski \leqslant:

a\leqslant b wtedy i tylko wtedy, gdy a\cap b=a

Tak zdefiniowana relacja \leqslant jest częściowym porządkiem na zbiorze B\;. Zbiór B\; z relacją ≤ jest kratą rozdzielną.

Ideały, algebry ilorazowe i homomorfizmy[edytuj | edytuj kod]

Niepusty zbiór I\subseteq B jest ideałem w algebrze {\mathbb B}, jeśli są spełnione następujące dwa warunki:

\big(\forall a,b\in I\big)\big(a \cup b\in I\big), oraz
\big(\forall a \in B, b\in I\big)\big((a\leqslant b)\ \Rightarrow\ (a\in I)\big).

Każdy ideał zawiera element 0\;. Ideał, który nie zawiera elementu 1\;, nazywany jest ideałem właściwym. Jedynym niewłaściwym ideałem jest całe B\;.

Pojęciem dualnym jest pojęcie filtru: niepusty zbiór F\subseteq B jest filtrem w algebrze {\mathbb B}, jeśli:

\big(\forall a,b\in F\big)\big(a\cap b\in F\big)

oraz

\big(\forall a\in F,b\in B\big)\big((a\leqslant b)\ \Rightarrow\ (b\in F)\big).

Każdy filtr zawiera element 1\;. Filtr, który nie zawiera elementu 0\;, nazywany jest filtrem właściwym. Jedynym niewłaściwym filtrem jest całe B\;.

Niech I\subseteq B będzie właściwym ideałem w algebrze {\mathbb B}. Niech \approx_I będzie relacją dwuczłonową na B\; taką, że

a\approx_I b wtedy i tylko wtedy gdy (a\cap (\sim b)) \cup (b\cap (\sim a)) \in I.

Wówczas \approx_I jest relacją równoważności na B\;. W zbiorze B/\approx_I klas abstrakcji tej relacji można zdefiniować działania \vee,\wedge,\neg:

[a] \vee [b] := [a\cup b],
[a] \wedge [b] := [a\cap b],
\neg [a] := [\sim a].

Pokazuje się, że powyższe definicje są poprawne (tzn. wynik operacji nie zależy od wyboru reprezentantów z klas abstrakcji) oraz że (B/_{\approx_I},\vee,\wedge,\neg,[0],[1]) jest algebrą Boole'a. Algebra ta jest nazywana algebrą ilorazową i jest oznaczana przez {\mathbb B}/I.

Niech \mathbb{B}^* := (B^*,\cup^*0,\cap^*,\sim^*,0^*,1^*) będzie algebrą Boole'a i niech h : B\to B^* będzie funkcją odwzorowującą B\; w B^*\;. Mówimy, że funkcja h jest homomorfizmem algebr Boole'a, jeśli zachowuje ona działania w algebrze, tzn. dla wszystkich a,b\in B zachodzą trzy równości:

h(a\cup b)=h(a) \cup^*\; h(b),
h(a\cap b)=h(a)\cap^* h(b),
h(\sim a)\; = \sim^* h(a).

Jeśli dodatkowo h\; jest funkcją wzajemnie jednoznaczną z B\; na B^*\;, to funkcja h\; zwana jest izomorfizmem algebr Boole'a.

Jeśli I\; jest ideałem w algebrze {\mathbb B}, to odwzorowanie a\mapsto [a]_{\approx_I}:{\mathbb B}\to {\mathbb B}/I jest homomorfizmem.

Jeśli \mathbb{B}^* := (B^*,\cup^*,\cap^*,\sim^*,0^*,1^*) jest algebrą Boole'a oraz h:B\to B^* jest homomorfizmem na B^*\;, to h^{-1}(0^*)\; jest ideałem w algebrze {\mathbb B} a algebra ilorazowa \mathbb{B}/h^{-1}(0^*) jest izomorficzna z \mathbb{B}^*.

Autodualność[edytuj | edytuj kod]

Niech {\mathbb C}=(B,\cap,\cup,\sim,1,0) (operacje \cup i \cap zostały zamienione rolami, podobnie jak stałe 0 i 1). Wtedy także \mathbb C jest algebrą Boole'a izomorficzną z wyjściową algebrą \mathbb B. Kanoniczny izomorfizm d tych dwóch algebr jest swoją własną odwrotnością (jest inwolucją zbioru B) i jest dany wzorem:

d(x) :=\; \sim x

dla dowolnego x \in B.

Algebry wolne[edytuj | edytuj kod]

Algebra Boole'a {\mathbb B} jest wolna, jeśli pewien zbiór X\subseteq B ma następującą własność:

dla każdej algebry Boole'a \mathbb{B}^* :=(B^*,\cup^*,\cap^*,\sim^*,0^*,1^*) i każdego odwzorowania f : X\to B^* istnieje dokładnie jeden homomorfizm h : B\to B^* z algebry {\mathbb B} w algebrę \mathbb{B}^*, przedłużający f\; (czyli taki, że h\upharpoonright X=f).

Zbiór X\subseteq B o własności opisanej powyżej jest nazywany zbiorem wolnych generatorów algebry {\mathbb B}. Jeśli moc zbioru X\; jest \kappa\;, to mówimy, że {\mathbb B} jest wolną algebrą Boole'a z \kappa\; generatorami.

Skończona algebra Boole'a jest wolna wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona 2^{2^n}\; elementów (dla n=0,1,2,\ldots). Algebra mocy 2^{2^n}\; jest izomorficzna z ciałem wszystkich podzbiorów zbioru z 2^n\; elementami i jako taka ma n\; wolnych generatorów.

Nieskończona przeliczalna algebra Boole'a jest wolna wtedy i tylko wtedy, gdy jest bezatomowa, tzn. każdy niezerowy element algebry zawiera przynajmniej dwa różne niezerowe elementy algebry. W zapisie formalnym: (\forall b\in B\setminus\{0\})(\exists a\in B\setminus \{0\})(a\leqslant b\ \wedge\ a\neq b)

Zupełne algebry Boole'a[edytuj | edytuj kod]

Działania nieskończone[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ w algebrze Boole'a istnieje porządek częściowy, to dla zbioru A\subseteq B można rozpatrywać jego kresy (które istnieją lub nie).

Jeśli dwuczłonowe operacje algebry Boole'a są oznaczane przez \cap,\cup (tak jak w tym artykule), to kres górny zbioru A\; (gdy istnieje) jest oznaczany przez \bigcup A, a jego kres dolny (gdy istnieje) jest oznaczany przez \bigcap A. Jeśli natomiast symbolami dla tych operacji są +,\cdot, to kresy oznaczane są przez \sum A, \prod A.

Dla zbioru pustego:

\bigcup \varnothing = 0 oraz \bigcap \varnothing = 1.

Zakładając istnienie odpowiednich kresów, zachodzą wzory de Morgana:

\sim\bigcup A = \bigcap\{\sim a:a\in A\} oraz \sim\bigcap A = \bigcup\{\sim a:a\in A\}.

Ponadto, jeśli \varnothing\neq A\subseteq B, to:

  • b=\bigcup A wtedy i tylko wtedy, gdy
(\forall a\in A)(a\leqslant b) oraz
\big(\forall c\leqslant b\big)\big(c\neq 0\Rightarrow (\exists a\in A)(a\cap c\neq 0)\big),
  • b=\bigcap A wtedy i tylko wtedy, gdy
(\forall a\in A)(b\leqslant a) oraz
\big(\forall c\neq 0\big)\big(c\cap b=0\Rightarrow (\exists a\in A)(c\cap (\sim a)\neq 0)\big).

Zupełność[edytuj | edytuj kod]

Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole'a {\mathbb B}:

  • każdy podzbiór {\mathbb B} ma kres górny;
  • każdy podzbiór {\mathbb B} ma kres dolny.

Algebry, w których każdy zbiór ma kres górny (tzn. takie dla których porządek boole'owski \leqslant jest zupełny), są nazywane zupełnymi algebrami Boole'a. Zupełne algebry Boole'a są szczególnie ważne w teorii forsingu; są one też przykładami krat zupełnych.

Niech \kappa\; będzie liczbą kardynalną, a {\mathbb B} będzie algebrą Boole'a. Powiemy, że algebra {\mathbb B} jest \kappa-zupełna, jeśli każdy zbiór A\subseteq B mocy mniejszej niż \kappa\; ma kres górny (tzn. \bigcup A istnieje ilekroć 0<|A|<\kappa\;). Równoważnie: algebra {\mathbb B} jest \kappa\;-zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zbiór A\subseteq B, o mocy mniejszej niż \kappa\;, ma kres dolny (tzn \bigcap A). Algebry \aleph_1-zupełne są też nazywane algebrami \sigma-zupełnymi.

Jeśli {\mathcal B} jest \sigma-ciałem borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej (a więc jest to \sigma-zupełna algebra Boole'a) oraz {\mathcal K}, jest rodziną wszystkich zbiorów A\in {\mathcal B}, które są pierwszej kategorii, to {\mathcal K} jest ideałem w algebrze {\mathcal B} i algebra ilorazowa {\mathcal B}/{\mathcal K} jest zupełna. Podobnie dla rodziny {\mathcal L} wszystkich borelowskich zbiorów miary zero.

Zbiory niezależne[edytuj | edytuj kod]

Podzbiór X algebry Boole'a \mathbb{B} nazywany jest niezależnym, gdy dla dowolnych zbiorów skończonych \{x_1, \ldots, x_n\}, \{y_1,\ldots, y_m\}\subseteq X

x_1\cap x_2\cap \ldots\cap x_n\cap (\sim y_1)\cap (\sim y_2)\cap \ldots+(\sim y_m)=0.

Do klasycznych twierdzeń dotyczących zbiorów niezależnych w algebrach Boole'a należą:

Funkcje kardynalne[edytuj | edytuj kod]

W badaniach i opisach algebr Boole'a często używa się funkcji kardynalnych. Przykładami takich funkcji kardynalnych są następujące funkcje.

  • Celularność c({\mathbb B}) algebry Boole'a {\mathbb B} jest to supremum mocy antyłańcuchów w {\mathbb B}.
  • Długość {\rm length}({\mathbb B}) algebry Boole'a {\mathbb B} to
{\rm length}({\mathbb B})=\sup\big\{|A|:A\subseteq {\mathbb B} jest łańcuchem \big\}
  • Głębokość {\rm depth}({\mathbb B}) algebry Boole'a {\mathbb B} to
{\rm depth}({\mathbb B})=\sup\big\{ |A|:A\subseteq {\mathbb B} jest dobrze uporządkowanym łańcuchem \big\}.
  • Nieporównywalność {\rm Inc}({\mathbb B}) algebry Boole'a {\mathbb B} to
{\rm Inc}({\mathbb B})=\sup\big\{ |A|:A\subseteq {\mathbb B} oraz \big(\forall a,b\in A\big)\big(a\neq b\ \Rightarrow \neg (a\leqslant b\ \vee \ b\leqslant a)\big)\big\}.
  • Pseudo-ciężar \pi({\mathbb B}) algebry Boole'a {\mathbb B} to
\pi({\mathbb B})=\min\big\{ |A|:A\subseteq {\mathbb B}\setminus \{0\} oraz \big(\forall b\in B\setminus \{0\}\big)\big(\exists a\in A\big)\big(a\leqslant b\big)\big\}.

Reprezentacja[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a mówi, że każda algebra Boole'a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów (traktowanym jako algebra Boole'a). Dokładniej mówiąc, algebra Boole'a {\mathbb B} jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni ultrafiltrów na {\mathbb B}, tzw. przestrzeni Stone'a algebry {\mathbb B}. Twierdzenie Stone'a nie może być udowodnione przy użyciu tylko ZF – wymaga ono założenia pewnej formy aksjomatu wyboru (rozszerzalności ideałów w algebrach Boole'a do ideałów pierwszych).

Każda skończona algebra Boole'a jest izomorficzna z całym zbiorem potęgowym (P(X), \cup, \cap, {}^\prime, \varnothing, X) dla pewnego X.\;

Historia[edytuj | edytuj kod]

Nazwa „algebra Boole'a” pochodzi od nazwiska George'a Boole'a (18151864), angielskiego matematyka-samouka. Wprowadził on algebraiczne ujęcie logiki matematycznej w niewielkiej pracy The Mathematical Analysis of Logic (Matematyczna analiza logiki), opublikowanej w 1847 roku. W późniejszej książce The Laws of Thought (Prawa myśli), opublikowanej w 1854, Boole formułuje problem w bardziej dojrzały sposób, zauważając dualność operacji ∪ i ∩. Dalszy rozwój algebra Boole'a zawdzięcza Williamowi Jevonsowi i Charlesowi Peirce'owi, których prace opublikowane zostały w latach sześćdziesiątych XIX wieku. W 1890 w Vorlesungen (Wykłady) Ernsta Schrödera pojawia się pierwszy systematyczny wykład algebry Boole'a i krat rozdzielnych. Dokładniejsze badania algebr Boole'a podjął Alfred North Whitehead w wydanym w 1898 roku dziele Universal Algebra (Algebra ogólna). Algebra Boole'a jako aksjomatyczna struktura algebraiczna pojawiła się w 1904 roku w pracach Huntingtona. Garrett Birkhoff w Lattice Theory (1940) rozwinął teorię krat. W latach sześćdziesiątych Paul Cohen, Dana Scott i inni osiągnęli głębokie rezultaty w dziedzinie logiki matematycznej i aksjomatycznej teorii zbiorów, korzystając z metody forsingu osadzonej w teorii algebr Boole'a.

Pierścienie Boole'a[edytuj | edytuj kod]

Z pojęciem algebry Boole'a związane jest pojęcie pierścienia Boole'a. Pierścień Boole'a to pierścień przemienny z jedynką (P,\oplus,\odot,0,1), w którym mnożenie spełnia warunek

a\odot a=a dla każdego elementu a\;.

W pierścieniu Boole'a każdy element jest rzędu 2, to znaczy spełnia równość: a \oplus a = 0. Dowód:

a \oplus a \oplus a \oplus a =(a\odot a)\oplus (a\odot a)\oplus (a\odot a)\oplus (a\odot a)=(a \oplus a) \odot (a \oplus a) = a \oplus a

więc a \oplus a = 0.

Wynika stąd, że:

a \odot (1 \oplus a) = 0 oraz a \oplus (1 \oplus a) = 1.

Niech {\mathbb B}=(B,\cup,\cap,\sim,0,1) będzie algebrą Boole'a. Jeżeli w zbiorze B\; określi się operację różnicy symetrycznej \oplus przez

a \oplus b = (a\cap (\sim b))\cup(b\cap (\sim a)),

to (B,\oplus,\cap,0,1) będzie pierścieniem Boole'a; za mnożenie \odot przyjmuje się \cap.

I na odwrot – niech (B,\oplus,\odot,0,1) będzie pierścieniem Boole'a. Jeżeli zdefiniuje się operacje \cup,\cap i \sim na B\; przez

a\cup b=(a\oplus b)\oplus (a\odot b), a\cap b=a\odot b i \sim a=1\oplus a,

to {\mathbb B}:=(B,\cup,\cap,\sim,0,1) będzie algebrą Boole'a spełniającą

a \oplus b = (a\cap (\sim b)) \cup (b\cap (\sim a)).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Zofia Adamowicz, Paweł Zbierski: Logic of mathematics. A modern course of classical logic. Nowy Jork: A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., 1997, seria: Pure and Applied Mathematics. ISBN 0-471-06026-7.
  • Garrett Birkhoff, Thomas C. Bartee: Współczesna algebra stosowana. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1983, seria: Matematyka dla Politechnik. ISBN 8301045604.
  • Thomas Jech: Set theory. Berlin: Springer-Verlag, 1997. ISBN 3-540-63048-1.
  • Winfried Just, Martin Weese: Discovering modern set theory. T. 2: Set-theoretic tools for every mathematician. Providence, RI: American Mathematical Society, 1997. ISBN 0-8218-0528-2.
  • Sabine Koppelberg: Handbook of Boolean algebras. J. Donald Monk i Robert Bonnet (red.). T. 1,2,3. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1989. ISBN 0-444-70261-X.
  • Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości: wraz ze wstępem do opisowej teorii mnogości. Wyd. 3. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe (PWN), 1978, seria: Monografie Matematyczne 27.
  • J. Donald Monk: Cardinal invariants on Boolean algebras. Basel: Birkhäuser Verlag, 1996. ISBN 3-7643-5402-X.
  • Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973, seria: Biblioteka Matematyczna t. 30.
  • Roman Sikorski: Boolean Algebras (wydanie 3). Springer Verlag; Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebieterok. Neue Folge. Band 25, 1969 (wyd. 1 – 1960).