Algebra Liego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Algebra Liegostruktura algebraiczna z określonym działaniem dwuargumentowym zwanym nawiasem Liego. Algebry Liego mają swoje zastosowanie m.in. podczas studiowania grup Liego, rozwiązywania układów nieliniowych etc.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Algebra Liego nad ciałem K (zwykle K = \mathbb C lub K = \mathbb R) to przestrzeń liniowa X nad ciałem K z określonym działaniem dwuargumentowym [\cdot, \cdot]\colon X \times X \to X, nazywanym nawiasem Liego lub komutatorem, spełniającym dla dowolnych x, y, z \in X i \alpha, \beta \in K następujące warunki:

Generatory i wymiar[edytuj | edytuj kod]

Elementy należące do algebry Liego \mathfrak{g} nazywamy jej generatorami, jeżeli najmniejsza podalgebra algebry \mathfrak{g} zawierająca te generatory jest samą algebrą \mathfrak{g}.

Wymiar algebry Liego jest wymiarem elementów tej algebry traktowanych jako tworzących przestrzeń wektorową nad tym samym ciałem F.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przestrzenie wektorowe[edytuj | edytuj kod]

  • Algebra Liego przestrzeni wektorowej Rn to po prostu Rn z nawiasem Liego równym 0:

 [A,B]=0.[edytuj | edytuj kod]

  • Algebra Liego pełnej grupy liniowej GL(n,R) macierzy odwracalnych to przestrzeń wektorowa Mn(R) kwadratowych macierzy n×n z nawiasem Liego

 \left[ A_1,A_2 \right] = A_1 A_2-A_2 A_1

  • Przestrzeń wektorowa wszystkich macierzy antyhermitowskich n × n jest zamknieta ze względu na komutator i tworzy rzeczywistą algebrę Liego oznaczaną symbolem \mathfrak{u}(n). Jest to algebra grupy macierzy unitarnych U(n).

Podprzestrzenie[edytuj | edytuj kod]

  • Podprzestrzenie ogólnej liiowej algebry Liego \mathfrak{gl}_n(F) złożone z macierzy o sladzie równym zeru tworzą podalgebrę zwaną specjalną algebrą Liego, oznaczaną symbolem \mathfrak{sl}_n(F).

Grupy macierzy rzeczywistych[edytuj | edytuj kod]

Każda grupa Liego G definiuje powiązaną z nią algebrę Liego \mathfrak{g}=Lie(G). Definicja ogólna jest nieco techniczna, ale w przypadku macierzy rzeczywistych może być sformułowana poprzez eksponentę macierzy: algebrę Liego \mathfrak{g}  tworzą te macierze X dla których exp(t X) jest macierzą należącą do grupy G dla wszystkich liczb rzeczywistych t .

Przemienna algebra Liego[edytuj | edytuj kod]

Dowolna przestrzeń liniowa, w której zdefiniujemy nawias Liego dowolnych dwóch elementów jako równy zero, jest algebrą Liego. Taką algebrę Liego nazywamy przemienną lub abelową.

Iloczyn wektorowy[edytuj | edytuj kod]

Nawias Liego w przestrzeni \mathbb R^3 definiujemy jako iloczyn wektorowy elementów. Łatwo sprawdzić, że takie działanie spełnia warunki z definicji algebry Liego.

Komutator[edytuj | edytuj kod]

Algebrą Liego jest dowolna algebra łączna, w której definiujemy nawias Liego jako komutator, czyli

[a, b] = ab - ba.

Komutator automatycznie spełnia wszystkie trzy warunki z definicji nawiasu Liego.

Algebry Liego grup macierzy o elementach rzeczywistych[edytuj | edytuj kod]

W przypadku algebry Liego określonej na grupie macierzy nawias Liego jest zadawany przez komutator macierzy \left[ A_1,A_2 \right] = A_1 A_2-A_2 A_1. Zauważmy, że komutator ten sam jest macierzą.

Grupy macierzy tworzące algebry Liego o elementach rzzeczywistych:

Algebry Liego grup macierzy o elementach zespolonych[edytuj | edytuj kod]

algebra \mathfrak l(n, \mathbb C) 
zbiór wszystkich macierzy kwadratowych wymiaru n o elementach zespolonych:
algebra \mathfrak{sl}(n, \mathbb C) 
podalgebra \mathfrak l(n, \mathbb C) macierzy o śladzie równym zeru;
algebra \mathfrak u(n, \mathbb C) 
podalgebra \mathfrak l(n, \mathbb C) macierzy antyhermitowskich;
algebra \mathfrak{su}(n, \mathbb C) 
podalgebra \mathfrak l(n, \mathbb C) będąca przecięciem dwóch powyższych;
algebra \mathfrak{so}(n, \mathbb R) 
algebra antysymetrycznych macierzy kwadratowych wymiaru n o elementach rzeczywistych, w szczególności z antysymetryczności wynika, że ślad tych macierzy jest równy zeru.

Generatory[edytuj | edytuj kod]

Istnieje pewne podobieństwo definicji zbioru generatorów grupy do definicji bazy przestrzeni liniowej.

Algebra Liego rozpięta jest na zbiorze liniowo niezależnych elementów (zbioru generatorów) X = x^i e_i . Jest ona zdefiniowana przez wszystkie możliwe komutatory generatorów

[e_i, e_j] = \sum_k f_{i, j, k} e_k.

Współczynniki f_{i, j, k} nazywamy stałymi strukturalnymi. Jeżeli wszystkie komutatory są równe zeru, to algebra (grupa) jest nazywana abelową lub przemienną.

Przykłady algebr Liego i ich generatorów[edytuj | edytuj kod]

Algebra Heisenberga H3(R)[edytuj | edytuj kod]

Jest to 3-wymiarowa algebra Liego generowana przez elementy x, y, z i następujące nawiasy Liego:

[x,y]=z,\quad [x,z]=0, \quad [y,z]=0 .

W przestrzeni 3×3 algebrę tą generują górno-trójkątne macierze i nawias Liego dany przez komutator macierzy


x = \left( \begin{array}{ccc}
0&1&0\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}\right),\quad
y = \left( \begin{array}{ccc}
0&0&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{array}\right),\quad
z = \left( \begin{array}{ccc}
0&0&1\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}\right)~.\quad

Każdy element tej algebry jest reprezentowany przez iloczyn eksponent generatorów grupy Liego

\left( \begin{array}{ccc}
1&a&c\\
0&1&b\\
0&0&1
\end{array}\right)= e^{by} e^{cz} e^{ax}~.

Przesunięcia w przestrzeni trójwymiarowej[edytuj | edytuj kod]

Zbiór generatorów ma trzy elementy: przesunięcie jednostkowe w kierunku osi Ox, Oy i Oz. Oznaczmy je przez X, Y, Z. Algebra Liego tej grupy to

[X, Y] = [Y, Z] = [Z, X] = 0.

Jest to więc grupa przemienna.

Obroty w przestrzeni trójwymiarowej[edytuj | edytuj kod]

Zbiór generatorów ma trzy elementy: obrót jednostkowy w prawo wokół osi Ox, Oy i Oz. Oznaczmy je przez e_1, e_2, e_3. Algebra Liego tej grupy:

[e_1, e_2] = e_3,
[e_2, e_3] = e_1 ,
[e_3, e_1] = e_2.

Stałe strukturalne f_{i, j, k} = \epsilon_{i, j, l} określone są przez symbol Leviego-Civity w następujący sposób:

  • f_{i, j, k} = 1, gdy permutacja (1 2 3) jest parzysta,
  • f_{i, j, k} = -1, gdy permutacja ta jest nieparzysta,
  • f_{i, j, k} = 0, gdy któryś ze wskaźników się powtarza.

Jeżeli obrócimy układ o 90^\circ w prawo wokół osi Ox oraz 90^\circ w prawo wokół osi Oy, a następnie 90^\circ w lewo wokół osi Ox i 90^\circ w lewo wokół osi Oy, to nie wrócimy do punktu wyjścia – układ będzie obrócony o 90^\circ w lewo wokół osi Oz oraz 90^\circ w lewo wokół osi Oy w stosunku do układu początkowego. Nie jest to więc grupa abelowa.

Algebra \mathfrak{su}(2)[edytuj | edytuj kod]

Zbiór bezśladowych macierzy wymiaru 2 \times 2 rozpięty jest na trzech macierzach Pauliego \sigma_i (macierze te używane są także do opisu cząstek ze spinem połówkowym). Generatorami algebry \mathfrak{su}(2)

e_i = -\tfrac{1}{2}i \sigma_i

Algebra \mathfrak{su}(2) jest algebrą Liego grupy SU(2) oraz grupy grupy SO(3) – grupy obrotów w przestrzeni trójwymiarowej.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • J. Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978
  • J. Mozrzymas, Zastosowania teorii grup w �zyce współczesnej, PWN, Warszawa 1967.
  • Serre, Jean-Pierre. "Lie Algebras and Lie Groups", 2nd edition, Springer, 2006. ISBN 3-540-55008-9[1]