Algebra nad ciałem

Algebra nad ciałem a. algebra liniowa – w algebrze liniowej przestrzeń liniowa wyposażona w dwuliniowe (wewnętrzne) działanie dwuargumentowe, nazywane mnożeniem (wektorów), które czyni z niej pierścień (niekoniecznie łączny).

Definicja

Niech $\scriptstyle X$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $\scriptstyle K.$ Jeżeli dane jest działanie dwuargumentowe $\scriptstyle X \times X \to X$ mnożenia wektorów (oznaczone niżej przez zestawienie argumentów), które dla dowolnych $\scriptstyle \mathbf x, \mathbf y, \mathbf z \in X$ oraz $\scriptstyle a \in K$ spełnia warunki

• lewostronnej i prawostronnej rozdzielności względem dodawania wektorów,

  $(\mathbf x \bold+ \mathbf y)\mathbf z = \mathbf{xz} \bold+ \mathbf{yz},$

  $\mathbf x(\mathbf y \bold+ \mathbf z) = \mathbf{xy} \bold+ \mathbf{xz},$

• zgodności z działaniem mnożenia przez skalary,

  $a(\mathbf{xy}) = (a\mathbf x)\mathbf y = \mathbf x(a \mathbf y),$

to $\scriptstyle X$ z tak wprowadzoną strukturą nazywa się algebrą nad ciałem $\scriptstyle K$ bądź $\scriptstyle K$-algebrą.

Zwykle mnożenie wektorów jest łączne (powstały pierścień jest łączny; jest to jeden z najczęściej nakładanych na pierścienie warunków), to o algebrze $\scriptstyle X$ mówi się, że jest łączna; algebra Leibniza to algebra, w której mnożenia spełnia tożsamość Leibniza, z kolei algebrą Liego nazywa się algebrę, w której mnożenie spełnia tożsamość Jacobiego – algebra Leibniza jest algebrą Liego wtedy i tylko wtedy, gdy mnożenie jest antyprzemienne (każdą algebrę łączną można przekształcić w algebrę Liego/Leibniza z działaniem mnożenia zdefiniowanym jako komutator/antykomutator).

Jeżeli mnożenie wektorów jest przemienne (tworzy pierścień przemienny, wtedy warunki lewo- i prawostronnej rozdzielności są równoważne), to algebrę $\scriptstyle X$ nazywa się przemienną. Jeśli działanie to ma element neutralny różny od elementu zerowego $\scriptstyle \mathbf 0$ (pierścień ma jedynkę i jest przy tym nietrywialny), to o algebrze $\scriptstyle X$ mówi się, że jest z jedynką (czasami nieściśle: z jednością) albo unitarna. Jeżeli każdy niezerowy element algebry z jednością jest odwracalny (przypadek pierścienia z dzieleniem), to mówi się wtedy o algebrze z dzieleniem. Łączna algebra przemienna z dzieleniem tworzy ciało.

Pojęcia

Bazą algebry $\scriptstyle X$ nazywa się bazę przestrzeni liniowej $\scriptstyle X,$ podobnie wymiarem algebry $\scriptstyle X$ jest wymiar przestrzeni $\scriptstyle X.$ Podalgebrą algebry $\scriptstyle X$ nazywa się taką jej podprzestrzeń liniową $\scriptstyle Y,$ która jest zarazem podpierścieniem pierścienia $\scriptstyle X,$ a więc wraz z dwoma elementami $\scriptstyle \mathbf y, \mathbf z \in Y$ należą do niej również elementy $\scriptstyle \mathbf{yz}$ oraz $\scriptstyle \mathbf{zy}.$ Lewostronnym, lub odpowiednio prawostronnym, ideałem algebry nazywa się taką jej podprzestrzeń liniową $\scriptstyle Y,$ która jest lewostronnym, lub odpowiednio prawostronnym, ideałem pierścienia $\scriptstyle X,$ a więc w której dla $\scriptstyle \mathbf y \in Y$ oraz $\scriptstyle \mathbf x \in X$ element $\scriptstyle \mathbf{yx} \in Y,$ bądź odpowiednio $\scriptstyle \mathbf{xy} \in Y.$

Przykłady

• Dowolne ciało tworzy algebrę nad samym sobą (w tym ciało liczb zespolonych).
• Nieprzemienna algebra kwaternionów (pierścień z dzieleniem).
• Każde rozszerzenie ciała $\scriptstyle L \supseteq K$ może być traktowane jako $\scriptstyle K$-algebra przemienna z mnożeniem zewnętrznym elementów z $\scriptstyle L$ przez elementy z $\scriptstyle K$ zdefiniowanym jako zawężenie mnożenia $\scriptstyle \cdot\colon L \times L\to L$ do $\scriptstyle \cdot|_K\colon K \times L \to L.$
• Algebra macierzy, tzn. zbiór macierzy kwadratowych stopnia $\scriptstyle n > 1$ nad ustalonym ciałem z dodawaniem i mnożeniem (Cauchy'ego) oraz mnożeniem macierzy przez skalar, jest nieprzemienną algebrą nad ciałem wymiaru $\scriptstyle n^2.$ Ogólniej, zbiór wszystkich endomorfizmów przestrzeni liniowej (zob. przekształcenie liniowe) $\scriptstyle V$ wymiaru większego niż $\scriptstyle 1$ z działaniami ich dodawania i mnożenia oraz mnożenia endomorfizmów przez skalary (określonymi punktowo) jest algebrą nieprzemienną. W ogólności pierścień wielomianów $\scriptstyle K[X]$ oraz ciało wyrażeń wymiernych $\scriptstyle K(X)$ (bądź odpowiednio funkcji wielomianowych oraz funkcji wymiernych) z dodawaniem i mnożeniem elementów oraz mnożeniem ich przez skalar (określonymi punktowo, zob. przestrzeń funkcyjna) tworzą zwykle algebry nieprzemienne.

Zobacz też

• algebra Banacha,
• algebra Leibniza,
• algebra Liego,
• algebra Jordana,
• algebra Clifforda,
• *-algebra.