Algebra nad ciałem

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Algebra nad ciałem a. algebra liniowa – w algebrze liniowej przestrzeń liniowa wyposażona w dwuliniowe (wewnętrzne) działanie dwuargumentowe, nazywane mnożeniem (wektorów), które czyni z niej pierścień (niekoniecznie łączny).

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle X będzie przestrzenią liniową nad ciałem \scriptstyle K. Jeżeli dane jest działanie dwuargumentowe \scriptstyle X \times X \to X mnożenia wektorów (oznaczone niżej przez zestawienie argumentów), które dla dowolnych \scriptstyle \mathbf x, \mathbf y, \mathbf z \in X oraz \scriptstyle a \in K spełnia warunki

to \scriptstyle X z tak wprowadzoną strukturą nazywa się algebrą nad ciałem \scriptstyle K bądź \scriptstyle K-algebrą.

Zwykle mnożenie wektorów jest łączne (powstały pierścień jest łączny; jest to jeden z najczęściej nakładanych na pierścienie warunków), to o algebrze \scriptstyle X mówi się, że jest łączna; algebra Leibniza to algebra, w której mnożenia spełnia tożsamość Leibniza, z kolei algebrą Liego nazywa się algebrę, w której mnożenie spełnia tożsamość Jacobiego – algebra Leibniza jest algebrą Liego wtedy i tylko wtedy, gdy mnożenie jest antyprzemienne (każdą algebrę łączną można przekształcić w algebrę Liego/Leibniza z działaniem mnożenia zdefiniowanym jako komutator/antykomutator).

Jeżeli mnożenie wektorów jest przemienne (tworzy pierścień przemienny, wtedy warunki lewo- i prawostronnej rozdzielności są równoważne), to algebrę \scriptstyle X nazywa się przemienną. Jeśli działanie to ma element neutralny różny od elementu zerowego \scriptstyle \mathbf 0 (pierścień ma jedynkę i jest przy tym nietrywialny), to o algebrze \scriptstyle X mówi się, że jest z jedynką (czasami nieściśle: z jednością) albo unitarna. Jeżeli każdy niezerowy element algebry z jednością jest odwracalny (przypadek pierścienia z dzieleniem), to mówi się wtedy o algebrze z dzieleniem. Łączna algebra przemienna z dzieleniem tworzy ciało.

Pojęcia[edytuj | edytuj kod]

Bazą algebry \scriptstyle X nazywa się bazę przestrzeni liniowej \scriptstyle X, podobnie wymiarem algebry \scriptstyle X jest wymiar przestrzeni \scriptstyle X. Podalgebrą algebry \scriptstyle X nazywa się taką jej podprzestrzeń liniową \scriptstyle Y, która jest zarazem podpierścieniem pierścienia \scriptstyle X, a więc wraz z dwoma elementami \scriptstyle \mathbf y, \mathbf z \in Y należą do niej również elementy \scriptstyle \mathbf{yz} oraz \scriptstyle \mathbf{zy}. Lewostronnym, lub odpowiednio prawostronnym, ideałem algebry nazywa się taką jej podprzestrzeń liniową \scriptstyle Y, która jest lewostronnym, lub odpowiednio prawostronnym, ideałem pierścienia \scriptstyle X, a więc w której dla \scriptstyle \mathbf y \in Y oraz \scriptstyle \mathbf x \in X element \scriptstyle \mathbf{yx} \in Y, bądź odpowiednio \scriptstyle \mathbf{xy} \in Y.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Dowolne ciało tworzy algebrę nad samym sobą (w tym ciało liczb zespolonych).
  • Nieprzemienna algebra kwaternionów (pierścień z dzieleniem).
  • Każde rozszerzenie ciała \scriptstyle L \supseteq K może być traktowane jako \scriptstyle K-algebra przemienna z mnożeniem zewnętrznym elementów z \scriptstyle L przez elementy z \scriptstyle K zdefiniowanym jako zawężenie mnożenia \scriptstyle \cdot\colon L \times L\to L do \scriptstyle \cdot|_K\colon K \times L \to L.
  • Algebra macierzy, tzn. zbiór macierzy kwadratowych stopnia \scriptstyle n > 1 nad ustalonym ciałem z dodawaniem i mnożeniem (Cauchy'ego) oraz mnożeniem macierzy przez skalar, jest nieprzemienną algebrą nad ciałem wymiaru \scriptstyle n^2. Ogólniej, zbiór wszystkich endomorfizmów przestrzeni liniowej (zob. przekształcenie liniowe) \scriptstyle V wymiaru większego niż \scriptstyle 1 z działaniami ich dodawania i mnożenia oraz mnożenia endomorfizmów przez skalary (określonymi punktowo) jest algebrą nieprzemienną. W ogólności pierścień wielomianów \scriptstyle K[X] oraz ciało wyrażeń wymiernych \scriptstyle K(X) (bądź odpowiednio funkcji wielomianowych oraz funkcji wymiernych) z dodawaniem i mnożeniem elementów oraz mnożeniem ich przez skalar (określonymi punktowo, zob. przestrzeń funkcyjna) tworzą zwykle algebry nieprzemienne.
  • Algebra zerowa, w której iloczyn dowolnych dwóch elementów wynosi 0, jest algebrą łączną i przemienną, ale nie unitarną. Może być rozszerzona do algebry z jedynką poprzez wzięcie sumy prostej jej i ciała, czego przykładem są liczby dualne.
  • Algebra grupowa, zdefiniowana dla dowolnej grupy skończonej G jako zbiór wszystkich wyrażeń formalnych postaci \sum_{g \in G} \alpha _g g, gdzie współczynniki są elementami ciała. Działania dodawania i mnożenia przez skalary są określone tak jak w przestrzeniach wektorowych. Mnożenie jest zdefiniowane jako mnożenie wyrażeń algebraicznych, gdzie mnożeniu elementów G odpowiada działanie grupowe.
  • Algebra incydencji, zdefiniowana dla dowolnego lokalnie skończonego częściowego porządku (X, \leqslant) jako zbiór funkcji na parach a,b elementów X równych 0 dla wszystkich par niespełniających a \leq b. Dodawanie i mnożenie przez skalar są zdefiniowane punktowo; mnożenie za pomocą splotu (f*g)(a,b) = \sum_{a \leq x \leq b} f(a,x)g(x,b). Dla porządku lokalnie skończonego taka suma ma skończenie wiele składników.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]