Algebra ogólna

Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.

Definicja

Niech $\mathfrak{F}$ będzie zbiorem i niech $\varsigma\colon\mathfrak{F}\to\Bbb{N}_0$.

Algebrą sygnatury $\varsigma\,$ jest para $\mathcal{A}=\langle A,\mathcal{J}\rangle$, gdzie $A\,$ jest zbiorem (zwykle niepustym), a $\mathcal{J}$ jest funkcją, która elementowi $\mathfrak{f}$ zbioru $\mathfrak{F}$ przyporządkowuje $\varsigma(\mathfrak{f})$-argumentowe działanie $\mathcal{J}(\mathfrak{f})$ w zbiorze $A\,$. Zbiór $A\,$ nazywamy uniwersum algebry $\mathcal{A}$, funkcję $\mathcal{J}$ interpretacją zbioru $\mathfrak{F}$ w algebrze $\mathcal{A}$.

Dla danej algebry $\mathcal{A}$, jego uniwersum oznacza się zazwyczaj jako $|\mathcal{A}|$. Także zamiast pisać $\mathcal{J}(\mathfrak{f})$ pisze się $\mathcal{A}(\mathfrak{f})$ albo $\mathfrak{f}^{\mathcal{A}}$.

Definicja alternatywna

Algebrą nazywamy zbiór G, na którym określony jest skończony lub nieskończony zbiór $\Omega$ operacji n-arnych.

Zbiór symboli operacji $\Omega$, dla których wskazane są ich arności nazywa się sygnaturą algebry. Dla zapisu tego, że operacja $\omega \in \Omega$ jest n-arna używa się zapisu $\omega \in \Omega_n$.

Obie definicje opisują ten sam obiekt: algebrę, zwaną też czasem algebrą ogólną lub algebrą uniwersalną $\omega$. W pierwszej definicji zbiór $\mathfrak{F}$ jest zbiorem nazw (symboli) operacji algebry, $\mathcal{J}$ jest funkcją przypisującą nazwie operację n-arną algebry, a funkcja $\varsigma$ przypisuje nazwie operacji jej arność.

Przykłady

1. Algebra Peano arytmetyki liczb naturalnych,  $\mathfrak{N}\,$.

   $\varsigma_\mathbf{PA}= \left\langle\begin{array}{c|c|c|c|c}\mathbf{A}&\mathbf{M}&\mathbf{P}&\mathbf{O}&\mathbf{I}\\\hline2&2&2&0&0\end{array}\right\rangle$,

   $\mathfrak{N}(\mathbf{A})(a,b)=a+b\,,\; \mathfrak{N}(\mathbf{M})(a,b)=a\cdot b\,,\;$

   $\mathfrak{N}(\mathbf{P})(a,b)=a^b\,,\;\,a,b\in\mathbb{N}_0$ oraz $\mathfrak{N}(\mathbf{O})=0\,,\;\mathfrak{N}(\mathbf{I})=1$

2. Algebra Presburgera arytmetyki samego dodawania, $\mathfrak{N}^{(+)}\,$.

   $\varsigma_\mathbf{Pr}= \left\langle\begin{array}{c|c|c}\mathbf{A}&\mathbf{O}&\mathbf{I}\\\hline2&0&0\end{array}\right\rangle$,

   $\mathfrak{N}^{(+)}(\mathbf{A})(a,b)=a+b\,,\;\,a,b\in\mathbb{N}_0 \quad \mbox{oraz}\quad \mathfrak{N}^{(+)}(\mathbf{O})=0\,,\;\mathfrak{N}^{(+)}(\mathbf{I})=1.$

3. Algebra Cegielskiego arytmetyki samego mnożenia,  $\mathfrak{N}^{(\bullet)}\,$.

   $\varsigma_\mathbf{Ceg}= \left\langle\begin{array}{c|c|c}\mathbf{M}&\mathbf{O}&\mathbf{I}\\\hline2&0&0\end{array}\right\rangle$,

   $\mathfrak{N}^{(\bullet)}(\mathbf{A})(a,b)=a\cdot b\,,\;\,a,b\in\mathbb{N}_0 \quad \mbox{oraz}\quad \mathfrak{N}^{(\bullet)}(\mathbf{O})=0\,,\;\mathfrak{N}^{(\bullet)}(\mathbf{I})=1.$

4. Algebra arytmetyki liczb całkowitych,  $\mathfrak{Z}\,$.

   $\varsigma_\mathfrak{Z}= \left\langle\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\mathbf{A}&\mathbf{M}&\mathbf{Sb}&\mathbf{N}&\mathbf{O}&\mathbf{I}\\\hline2&2&2&1&0&0\end{array}\right\rangle$

   $\mathfrak{Z}(\mathbf{A})(a,b)=a+b\,,\; \mathfrak{Z}(\mathbf{M})(a,b)=a\cdot b\,,\; \mathfrak{Z}(\mathbf{Sb})(a,b)=a-b\,,\;a,b\in\mathbb{Z},$

   $\mathfrak{Z}(\mathbf{N})(a)=-a\,,\;\;a\in\mathbb{Z}$ oraz $\mathfrak{Z}(\mathbf{O})=0\,,\;\mathfrak{Z}(\mathbf{I})=1.$

5. Algebra podzbiorów zbioru $X\,$,  $\mathfrak{P}_{(X)}\,$.

   $\varsigma_\mathbf{BA}= \left\langle\begin{array}{c|c|c|c|c}\mathbf{J}&\mathbf{M}&\mathbf{N}&\mathbf{O}&\mathbf{I}\\\hline2&2&1&0&0\end{array}\right\rangle\,$,

   $\mathfrak{P}_{(X)}(\mathbf{J})(a,b)=a\cup b\,,\; \mathfrak{P}_{(X)}(\mathbf{M})(a,b)=a\cap b\,,\;\;a,b\in\wp(X)\,,\;$

   $\mathfrak{P}_{(X)}(\mathbf{N})(a)=X\setminus a\,,\;\;a\in\wp(X)\,,$ oraz $\mathfrak{P}_{(X)}(\mathbf{O})=\emptyset\;\,,\;\mathfrak{P}_{(X)}(\mathbf{I})=X.$

6. Krata podzielności w $\mathbb{N}\,$,  $\mathfrak{D}_{(\mathbb{N})}\,$.

   $\varsigma_{\mathbf{B\cdot Lat}}= \left\langle\begin{array}{c|c|c|c}\mathbf{J}&\mathbf{M}&\mathbf{O}&\mathbf{I}\\\hline2&2&0&0\end{array}\right\rangle\,$,

   $\mathfrak{D}_{(\mathbb{N})}(\mathbf{J})(a,b)=\mathbf{nwd}\{a,b\}\,,\; \mathfrak{D}_{(\mathbb{N})}(\mathbf{M})(a,b)=\mathbf{nww}({a,b})\,,\;\;a,b\in\mathbb{N}\,\;$ (zob. nww, nwd)
   oraz $\mathfrak{D}_{(\mathbb{N})}(\mathbf{O})=1\;\,,\;\mathfrak{D}_{(\mathbb{N})}(\mathbf{I})=0.$

Redukty i wzbogacenia

Niech $\mathcal{A}$ będzie algebrą sygnatury $\varsigma\colon\mathfrak{F}\to\Bbb{N}$ i niech $\mathfrak{F}_0\subseteq\mathfrak{F}$.

Reduktem prostym algebry $\mathcal{A}$ do $\mathfrak{F}_0$ nazywamy algebrę $\mathcal{A}|_\mathfrak{F_0}=\langle A,\mathcal{J}|_\mathfrak{F_0}\rangle$.

Przykłady

• $\mathfrak{N}^{(+)}$ i $\mathfrak{N}^{(\bullet)}$ są reduktami prostymi $\mathfrak{N}$
• Algebrę $\mathfrak{P}_{(X)}|_{\{\mathbf{J},\mathbf{M}\}}$ nazywamy kratą podzbiorów zbioru $X\,$.

W niektórych wypadkach wprowadzone wyżej pojęcie reduktu prostego może być niewystarczające. Będzie tak np. w sytuacji, gdy na jednym uniwersum będziemy potrzebowali wprowadzić równolegle kilka struktur wzajemnie ze sobą powiązanych jak jest np. w przypadku pierścieni, czy ciał. Wtedy pomocnym okaże się następujące pojęcie reduktu nieprostego:

Redukty nieproste

Niech $\mathcal{A}$ będzie algebrą sygnatury $\varsigma:\mathfrak{F}\to\mathbb{N}$ i niech $\pi\colon\mathfrak{F}_0\to\mathfrak{F}$ będzie różnowartościowe. Reduktem nieprostym algebry $\mathcal{A}$ do $\pi$ nazywamy algebrę $\mathcal{A}|_{\pi}$ sygnatury $\varsigma\circ\pi$, której uniwersum jest $|\mathcal{A}|$ i w której

$\mathfrak{f}^{(\mathcal{A}|_{\pi})}=\mathcal{A}\big(\pi(\mathfrak{f})\big)\quad,\qquad f\in\mathfrak{F}_0$

Algebra $\mathcal{B}$ jest wzbogaceniem (prostym) algebry $\mathcal{A}$, jeśli $\mathcal{A}$ jest reduktem (prostym) algebry $\mathcal{B}$.

Przykłady

Pierścień to taka algebra $\mathcal{R}$ sygnatury $\varsigma_\mathbf{ring}=\left\langle\begin{array}{c|c|c|c}\mathbf{A}&\mathbf{M}&\mathbf{N}&\mathbf{Z}\\\hline2&2&1&0\end{array}\right\rangle$, że redukt $\mathcal{R}|_{\{\mathbf{A}/\mathbf{M},\mathbf{N},\mathbf{Z}/\mathbf{E}\}}$ jest grupą przemienną, a $\mathcal{R}|_{\{\mathbf{M}\}}$ jest półgrupą oraz spełnione są równości:

$x\cdot(y+z)=x\cdot y+x\cdot z\quad\mbox{i}\quad (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z\qquad,\quad x,y,z\in|\mathcal{R}|.$

gdzie

$x+y=\mathbf{A}^{\mathcal{R}}(x,y)\,,\; x\cdot y=\mathbf{M}^{\mathcal{R}}(x,y)\,,\; -x=\mathbf{N}^{\mathcal{R}}(x)\,,\; 0=\mathbf{Z}^{\mathcal{R}}\,,\qquad x,y\in|\mathcal{R}|.$

Tutaj zastosowana jest konwencja notacyjna wedle której $\{\mathbf{A}/\mathbf{M},\mathbf{N},\mathbf{Z}/\mathbf{E}\}$ jest innym zapisem funkcji $\pi=\left\langle\begin{array}{c|c|c}\mathbf{M}&\mathbf{N}&\mathbf{E}\\\hline\mathbf{A}&\mathbf{N}&\mathbf{Z}\end{array}\right\rangle$

Ciało to taka algebra $\mathcal{F}$ sygnatury $\varsigma_\mathbf{field}=\varsigma_\mathbf{ring}\cup\{\mathbf{R}\mapsto1,\mathbf{J}\mapsto0\}$, że $\mathcal{F}|_{\{\mathbf{A},\mathbf{M},\mathbf{N},\mathbf{Z}\}}$ jest pierścieniem, a $\mathcal{F}|_{\{\mathbf{M},\mathbf{R}/\mathbf{N},\mathbf{J}/\mathbf{E}\}}$ jest grupą.

Dla wygody przyjmuje się następujące oznaczenia:

$1=\mathbf{A}^{\mathcal{F}}(x,y)\,,\; x^{-1} =\mathbf{R}^{\mathcal{F}}(x)\,,\qquad x\in|\mathcal{F}|.$

Podalgebry

Algebra $\mathcal{C}$ jest podalgebrą algebry $\mathcal{A}$, jeśli

1. $|\mathcal{C}|\subseteq|\mathcal{A}|$       oraz       
2. $\mathcal{C}(\mathfrak{f})=\mathcal{A}(\mathfrak{f})|_{\big(|\mathcal{C}|\big)^{\varsigma(\mathfrak{f})}}\;,\mathfrak{f}\in\mathfrak{F}$.

Uwaga

Niech $\mathcal{A}$ będzie algebrą. Na to, aby $C\subseteq|\mathcal{A}|$ było uniwersum podalgebry algebry $\mathcal{A}$ potrzeba i wystarcza, aby $\qquad\mathcal{A}(\mathfrak{f})|_{\big(|\mathcal{C}|\big)^{\varsigma(\mathfrak{f})}}\subseteq|C|\;,\qquad\mathfrak{f}\in\mathfrak{F}$

Uwaga

Niech $\mathcal{A}$ będzie algebrą i niech $C\subseteq|\mathcal{A}|$. Wówczas wśród podalgebr algebry $\mathcal{A}$, których uniwersum zawiera $C\,$ istnieje algebra najmniejsza.

Algebrę tę nazywamy podalgebrą wyznaczoną przez $C\,$ i oznacza się $\mathcal{A}[C]$ albo $\langle C\rangle_{\mathcal A}$.

Przykłady

1. Algebra $\mathfrak{N}|_{\{\mathbf{A},\mathbf{M},\mathbf{O},\mathbf{I}\}}$ jest podalgebrą algebry $\mathfrak{Z}|_{\{\mathbf{A},\mathbf{M},\mathbf{O},\mathbf{I}\}}$.
2. Podalgebrą algebry $\mathfrak{Z}|_{\{\mathbf{A},\mathbf{M},\mathbf{O},\mathbf{I}\}}$ generowaną przez $\{1\}\,$ jest $\mathfrak{N}|_{\{\mathbf{A},\mathbf{M},\mathbf{O},\mathbf{I}\}}$
3. Podalgebrą algebry $\mathfrak{Z}$ generowaną przez $\{1\}\,$ jest $\mathfrak{Z}$
4. Uniwersum podalgebry algebry $\mathfrak{Z}|_{\{\mathbf{M}\}}$ generowanej przez $\{-1\}\,$ jest $\{-1,1\}\,$
5. Podalgebrą algebry $\mathfrak{Z}|_{\{\mathbf{A},\mathbf{M}\}}$ generowanej przez $\{-1\}\,$ jest $\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{A},\mathbf{M}\}}$

Homomorfizmy

Niech $\mathcal{A}$ i $\mathcal{B}$ będą algebrami tej samej sygnatury $\varsigma\colon\mathfrak{F}\to\Bbb{N}_0$.
Funkcję $h\colon|\mathcal{A}|\to|\mathcal{B}|$ jest homomorfizmem algebr $\mathcal{A}$ i $\mathcal{B}$, jeśli

$\mathcal{B}(\mathfrak{f})\big( h(a_1),\ldots, h(a_{\varsigma(\mathfrak{f})})\big)= h\big( \mathcal{A}(\mathfrak{f})(a_1,\ldots, a_{\varsigma(\mathfrak{f})}) \big)\quad,\qquad a_1,\ldots, a_{\varsigma(\mathfrak{f})}\in|\mathcal{A}|\;,\;\mathfrak{f}\in\mathfrak{F}.$

Rodzinę wszystkich homomorfizmów z $\mathcal{A}$ do $\mathcal{B}$ oznaczamy $\mathbf{hom}(\mathcal{A},\mathcal{B})$.

Homomorfizm różnowartościowy nazywamy monomorfizmem. Rodzinę wszystkich monomorfizmów z $\mathcal{A}$ do $\mathcal{B}$ oznaczamy $\mathbf{mon}(\mathcal{A},\mathcal{B})$.

Homomorfizm "na" nazywamy epimorfizmem. Rodzinę wszystkich epoimorfizmów z $\mathcal{A}$ do $\mathcal{B}$ oznaczamy $\mathbf{epi}(\mathcal{A},\mathcal{B})$.

Różnowartościowy epimorfizm, to izomorfizm. Rodzinę wszystkich izomorfizmów z $\mathcal{A}$ do $\mathcal{B}$ oznaczamy $\mathbf{iso}(\mathcal{A},\mathcal{B})$.

Homomorfizmy algebry w siebie, to endomorfizmy. Izomorfizmy w siebie, to automorfizmy.

Rodzinę wszystkich endomorfizmów algebry $\mathcal{A}$ oznaczamy $\mathbf{endo}(\mathcal{A})$. Rodzinę wszystkich automorfizmów algebry $\mathcal{A}$ oznaczamy $\mathbf{aut}(\mathcal{A})$.

Rodzina automorfizmów algebry w siebie tworzy z działaniem składania odwzorowań grupę.

Zauważmy, że algebra $\mathcal{A}$ jest podalgebrą algebry $\mathcal{B}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathbf{id}_{|\mathcal{A}|}\in\mathbf{hom}(\mathcal{A},\mathcal{B})$.

Jeśli $h\in\mathbf{hom}(\mathcal{A},\mathcal{B})$, to podalgebrę algebry $\mathcal{B}$ wyznaczoną przez $h\grave{}\,\grave{}|\mathcal{A}|$ nazywamy obrazem homomorfizmu $h$ i oznaczamy $\mathbf{im}(h)$.

Przykłady

1. Odwzorowanie $\mathbb{N}\ni x\mapsto 2x\in\mathbb{Z}$ jest w  $\mathbf{hom}(\mathfrak{N}_{\{\mathbf{O},\mathbf{A}\}}\,,\,\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{O},\mathbf{A}\}})$,
   ale nie jest ani w $\mathbf{hom}(\mathfrak{N}_{\{\mathbf{O},\mathbf{I},\mathbf{A}\}}\,,\,\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{O},\mathbf{I},\mathbf{A}\}})$, ani w $\mathbf{hom}(\mathfrak{N}_{\{\mathbf{O},\mathbf{M},\mathbf{A}\}}\,,\,\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{O},\mathbf{M},\mathbf{A}\}})$.
2. Odwzorowanie $\mathbb{Z}\ni x\mapsto |x|\in\mathbb{N}$ jest w $\mathbf{hom}(\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{O},\mathbf{I},\mathbf{M}\}}\,,\,\mathfrak{N}_{\{\mathbf{O},\mathbf{I},\mathbf{M}\}})$, ale nie jest w $\mathbf{hom}(\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{O},\mathbf{I},\mathbf{A}\}}\,,\,\mathfrak{N}_{\{\mathbf{O},\mathbf{I},\mathbf{A}\}})$.
3. Jedynym homomorfizmem $\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{O},\mathbf{A},\mathbf{M}\}}$ w $\mathfrak{N}_{\{\mathbf{O},\mathbf{A},\mathbf{M}\}}$ jest $h\equiv0$.
4. Jedynymi homomorfizmami $\mathfrak{N}_{\{\mathbf{O},\mathbf{A},\mathbf{M}\}}$ w $\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{O},\mathbf{A},\mathbf{M}\}}$ są $h\equiv0$ i $h\equiv\mathbf{id}_\mathbb{N}$.
5. Jedynym homomorfizmem $\mathfrak{N}_{\{\mathbf{O},\mathbf{I},\mathbf{A},\mathbf{M}\}}$ w $\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{O},\mathbf{I},\mathbf{A},\mathbf{M}\}}$ jest $h\equiv\mathbf{id}_\mathbb{N}$.
6. Jedynymi homomorfizmami $\mathfrak{N}_{\{\mathbf{O},\mathbf{A}\}}$ i $\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{O},\mathbf{A}\}}$ są postaci $\mathbb{N}\ni x\mapsto k\cdot x\in\mathbb{Z}$, dla pewnego $k\in\mathbb{Z}$.

Kongruencje, zasadnicze twierdzenie algebry

Niech $\mathcal{A}$ będzie algebrą sygnatury $\varsigma\colon\mathfrak{F}\to\Bbb{N}_0$.
Relacja równoważności $\approx$ w $|\mathcal{A}|$ jest kongruencją algebry, gdy

$a_1\approx b_1,\ldots,a_{\varsigma(\mathfrak{f})}\approx b_{\varsigma(\mathfrak{f})}\quad\Rightarrow\quad \mathcal{A}(\mathfrak{f})(a_1,\ldots,a_{\varsigma(\mathfrak{f})})\approx \mathcal{A}(\mathfrak{f})(b_1,\ldots,b_{\varsigma(\mathfrak{f})})$,

$a_1,\ldots,a_{\varsigma(\mathfrak{f})}\,,\; b_1,\ldots,b_{\varsigma(\mathfrak{f})}\in|\mathcal{A}|\;,\;\mathfrak{f}\in\mathfrak{F}.$

Przykład

Niech $h\in\mathbf{hom}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ i niech

$a\approx_hb\quad\Leftrightarrow\quad h(a)=h(b)\qquad,\quad\qquad a,b\in|\mathcal{A}|$

Wówczas $\approx_h$ jest kongruencją algebry $\mathcal{A}$.

Algebra ilorazowa

Niech $\mathcal{A}$ będzie algebrą sygnatury $\varsigma\colon\mathfrak{F}\to\Bbb{N}_0$ i niech $\approx$ będzie kongruencją w $\mathcal{A}$.
Algebrą ilorazową $\mathcal{A}$ przez $\approx$ jest algebra $\mathcal{A}/\!_{\approx}$, której uniwersum jest zbiór ilorazowy $|\mathcal{A}|/\!_{\approx}$ i w której:

$\left(\mathcal{A}\!/\!_{\approx}\right)(\mathfrak{f})(a_1/\!_{\approx},\ldots,a_{\varsigma(\mathfrak{f})}/\!_{\approx})= \left(\mathcal{A}(\mathfrak{f})(a_1,\ldots,a_{\varsigma(\mathfrak{f})})\right)\!\!/\!_{\approx}\quad,\qquad a_1,\ldots,a_{\varsigma(\mathfrak{f})}\in|\mathcal{A}|\;,\;\mathfrak{f}\in\mathfrak{F}$

Przyporządkowanie $|\mathcal{A}|\ni a\mapsto a\!/\!_{\approx}\in|\mathcal{A}|/\!_{\approx}$ nazywamy odwzorowaniem kanonicznym i oznaczamy je symbolem $\kappa_\approx$. Jest ono homomorfizmem algebr $\mathcal{A}$  i  $\mathcal{A}/\!_{\approx}$.

Zasadnicze twierdzenie algebry

Niech $h\in\mathbf{hom}(\mathcal{A},\mathcal{B})$, wówczas $\mathcal{A}\!/\!_{\approx_h}$ i $\mathbf{im}(h)$ są izomorficzne.

Szczególne algebry

W poniższej sekcji opisano ważne z punktu widzenia matematyki algebry ogólne.

Zbiór

Zbiór to algebra $\mathcal S$ sygnatury $\varsigma_\mathbf{set} = \varnothing$.

Jest to przypadek zdegenerowany, z punktu widzenia algebry – nieistotny.

Zbiór z wyróżnionym punktem

Zbiór z wyróżnionym punktem to algebra $\mathcal S$ sygnatury $\varsigma_\mathbf{set\bullet} = \{\mathbf P \mapsto 0\}$, gdzie element $\mathbf{P}^\mathcal{S}$ nazywa się elementem bądź punktem wyróżnionym algebry $\mathcal S$.

Element ten oznacza się niekiedy symbolem $\bullet$. Zazwyczaj jednak element wyróżniony oznacza się małą literą, która służy do oznaczania uniwersum algebry (czasem z indeksem dolnym $0$).

Algebra unarna

Algebra unarna to algebra $\mathcal{U}$ sygnatury $\varsigma_\mathbf{unalg} = \{\mathbf R \mapsto 1\}$, gdzie $\mathbf R^\mathcal A(x)$ może mieć wiele różnych oznaczeń w zależności od zastosowań, np. $\sim\!x$, $\neg x$, czy $-x$ w notacji prefiksowej, $x'$, $x^{-1}$ w notacji postfiksowej, czy też $\overline{x}$ z wykorzystaniem znaków diakrytycznych.

Grupoid

Grupoid to algebra $\mathcal A$ sygnatury $\varsigma_\mathbf{grpd} = \{\mathbf M \mapsto 2\}$, czyli inaczej mówiąc zbiór z działaniem dwuargumentowym.

Zamiast $\mathcal A(\mathbf M)(x, y)$ zwykle pisze się $x \cdot y$ lub nawet $xy$ (tzw. notacja multyplikatywna) lub $x + y$ (tzw. notacja addytywna), gdzie $x, y \in |\mathcal A|$.

W notacji multyplikatywnej działanie grupoidu nazywa się mnożeniem, a w notacji addytywnej – dodawaniem. Notacja addytywna używana jest zazwyczaj, gdy działanie grupoidu jest przemienne.

Quasi-grupa

Quasi-grupa to wzbogacenie grupoidu $\mathcal A$ do sygnatury $\varsigma_\mathbf{qgrp} = \varsigma_\mathbf{grpd}\cup\{\mathbf{D_l} \mapsto 2, \mathbf{D_r} \mapsto 2\}$, w którym spełnione są równości:

$x \cdot (x \backslash y) = y,\; x \backslash (x \cdot y) = y,\; (x / y) \cdot y = x,\; (x \cdot y) / y = x$,

gdzie

$x \backslash y := \mathcal A(\mathbf{D_l})(x, y),\; x / y := \mathcal A(\mathbf{D_r})(x, y)$, gdzie $x, y \in |\mathcal A|$.

Działania „$/$” i „$\backslash$” nazywa się odpowiednio dzieleniem prawo- i lewostronnym.

Lupa

Lupa (pętla) to wzbogacenie quasigrupy $\mathcal A$ do sygnatury $\varsigma_\mathbf{qgrp} \cup \{\mathbf E \mapsto 0\}$, które spełnia równości

$x \cdot \mathbf e = \mathbf e \cdot x = x,\; x \in |\mathcal A|$,

gdzie $\mathbf e = \mathcal A(\mathbf E)$.

Innymi słowy, pętla to quasigrupa z elementem neutralnym mnożenia.

Półgrupa

Półgrupa to grupoid z działaniem łącznym.

Monoid

Monoid to wzbogacenie półgrupy $\mathcal A$ do sygnatury $\varsigma_\mathbf{mon} = \varsigma_\mathbf{grpd} \cup \{\mathbf E \mapsto 0\}$, które spełnia równości

$x \cdot \mathbf e = \mathbf e \cdot x = x,\; x \in |\mathcal A|$,

gdzie $\mathbf e = \mathcal A(\mathbf E)$ w notacji multyplikatywnej, często też $1 = \mathcal A(\mathbf E)$. W notacji addytywnej zamiast $\mathcal A(\mathbf E)$ pisze się zwykle $0$.

Monoid można określić jako półgrupę z elementem neutralnym działania tej półgrupy.

Grupa

Grupa jest wzbogaceniem monoidu $\mathcal A$ do sygnatury $\varsigma_\mathbf{mon} \cup \{\mathbf R \mapsto 1\}$, które spełnia równości

$x \cdot \mathcal A(\mathbf R)(x) = \mathcal A(\mathbf R)(x) \cdot x = \mathbf e$ dla $x \in |\mathcal A|$.

Standardowym oznaczeniem $\mathcal A(\mathbf R)(x)$ jest $x^{-1}$, niekiedy również $x^\prime$, w notacji multyplikatywnej; element ten nazywa się wtedy elementem odwrotnym do $x$. W notacji addytywnej element ten oznacza się symbolem $-x$ i nazywa elementem przeciwnym do $x$.

Grupa to, innymi słowy, monoid z operacją brania elementu odwrotnego/przeciwnego.

Pierścień

Pierścień to algebra $\mathcal R$ sygnatury $\varsigma_\mathbf{ring} = \left\langle \begin{array}{c|c|c|c}\mathbf A & \mathbf M & \mathbf N & \mathbf Z \\ \hline 2 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right\rangle$, dla której redukt $\mathcal R|_{\{\mathbf A / \mathbf M, \mathbf N / \mathbf R, \mathbf Z / \mathbf E\}}$ jest grupą przemienną, a $\mathcal R|_{\{\mathbf M\}}$ jest półgrupą oraz spełnione są równości:

$x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z$ i $(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z$ dla $x, y, z \in |\mathcal R|$,

gdzie

$x + y = \mathbf A^{\mathcal R}(x, y)$,

$x \cdot y = \mathbf M^{\mathcal R}(x,y)$,

$-x = \mathbf N^{\mathcal R}(x)$,

$0 = \mathbf Z^{\mathcal R}$

dla $x, y \in |\mathcal R|$.

Działanie $\mathbf A^\mathcal R$ nazywamy dodawaniem pierścienia, a działanie $\mathbf M^\mathcal R$ jego mnożeniem.

Uwaga

W dowolnym pierścieniu zachodzi $0 \cdot x = x \cdot 0 = 0$.

Ponieważ $0 \cdot x = (0 + 0) \cdot x = 0 \cdot x + 0 \cdot x$, to $0 \cdot x = 0$. Podobnie $x \cdot 0 = 0$.

Pierścień, w którym działanie $\mathbf M^\mathcal R$ jest przemienne nazywa się pierścieniem przemiennym.

Pierścień z jedynką

Pierścień z jedynką to algebra $\mathcal R$ sygnatury $\varsigma_\mathbf{ring1} = \varsigma_\mathbf{ring} \cup \{\mathbf J \mapsto 0\}$, że $\mathcal R_{\{\mathbf A, \mathbf M, \mathbf N, \mathbf Z\}}$ jest pierścieniem, a $\mathcal R_{\{\mathbf M, \mathbf J / \mathbf E\}}$ jest monoidem.

Element $\mathbf J^\mathcal R$ nazywamy jedynką pierścienia $\mathcal R$. Oznaczamy go zazwyczaj symbolem $1$.

Pierścień z dzieleniem

Pierścień z dzieleniem to algebra $\mathcal R$ sygnatury $\varsigma_\mathbf{ring1} \cup \{\mathbf R \mapsto 1\}$, że $\mathcal R|_{\{\mathbf A, \mathbf M, \mathbf N, \mathbf Z\}}$ jest pierścieniem, a  $\mathcal R|_{\{\mathbf M, \mathbf R, \mathbf J / \mathbf E\}}$ jest grupą.

Dla wygody przyjmuje się oznaczenie:

$x^{-1} = \mathbf R^{\mathcal R}(x)$, gdzie $x \in |\mathcal R|$.

Ciało

Ciało to pierścień z dzieleniem z przemiennym działaniem mnożenia.

Krata

Kratą nazywamy algebrę $\mathcal K$ sygnatury $\varsigma_\mathbf{latt} = \{\mathbf A \mapsto 2, \mathbf K \mapsto 2\}$, w której spełnione są równości:

$x \sqcap y = y \sqcap x, \quad x \sqcap (y \sqcap z) = (x \sqcap y) \sqcap z, \quad x \sqcap (x \sqcup y) = x$,

$x \sqcup y = y \sqcup x, \quad x \sqcup (y \sqcup z) = (x \sqcup y) \sqcup z, \quad x \sqcup (x \sqcap y) = x$,

gdzie użyto oznaczeń

$x \sqcup y = \mathcal K(\mathbf A)(x, y)$

oraz

$x \sqcap y = \mathcal K(\mathbf K)(x, y)$.

Krata rozdzielna to krata spełniająca co najmniej jedną z równości (pozostała równość wynika z przyjętej):

$x \sqcap (y \sqcup z) = (x \sqcap y) \sqcup (x \sqcap z)$

bądź

$x \sqcup (y \sqcap z) = (x \sqcup y) \sqcap (x \sqcup z)$.

Innym warunkiem, tak koniecznym jak i dostatecznym, na rozdzielność kraty jest zachodzenie równości:

$(x \sqcap y) \sqcup (y \sqcap z) \sqcup (y \sqcap z) = (x \sqcup y) \sqcap (y \sqcup z) \sqcap (y \sqcup z)$, gdzie $x, y, z \in |\mathcal K|$.

Krata jest nierozdzielna, gdy zawiera podkratę izomorficzną z jedną z poniższych krat:

Należy jednak być przezornym, niżej zaprezentowane kraty są rozdzielne:

Krata dualna

Redukt $\mathcal K^\mathbf{d}=\mathcal K|_{\{\mathbf{A}/\mathbf{K},\mathbf{K}/\mathbf{A}\}}$ jest także kratą. Kratę tę nazywamy kratą dualną do $\mathcal K$. Krata dualna do kraty rozdzielnej jest kratą rozdzielną.

Krata z „zerem”

Krata z „zerem” to wzbogacenie kraty $\mathcal K$ do sygnatury $\varsigma_\mathbf{latt\_0} = \varsigma_\mathbf{latt} \cup \{\mathbf O \mapsto 0\}$, w której spełnione są równości:

$x \sqcap \bot = \bot$ oraz $x \sqcup \bot = x$,

gdzie element $\bot = \mathcal K(\mathbf O)$ nazywa się spodem lub zerem kraty $\mathcal K$.

Krata z „jedynką”

Krata z „jedynką” to wzbogacenie kraty $\mathcal K$ do sygnatury $\varsigma_\mathbf{latt\_1} = \varsigma_\mathbf{latt} \cup \{\mathbf I \mapsto 0\}$, w której spełnione są równości:

$x \sqcap \top = x$ oraz $x \sqcup \top = \top$,

gdzie element $\top = \mathcal K(\mathbf I)$ nazywa się szczytem lub jedynką kraty $\mathcal K$.

Krata ograniczona

Krata ograniczona to wzbogacenie kraty $\mathcal K$ do sygnatury $\varsigma_\mathbf{latt\_01} = \varsigma_\mathbf{latt} \cup \{\mathbf O \mapsto 0, \mathbf I \mapsto 0\}$, że $\mathcal K|_{\{\mathbf A, \mathbf K, \mathbf O\}}$ jest kratą z zerem, a $\mathcal K|_{\{\mathbf A, \mathbf K, \mathbf I\}}$ jest kratą z jedynką.

Krata komplementarna

Krata komplementarna to wzbogacenie kraty ograniczonej do sygnatury $\varsigma_\mathbf{lcmpl} = \varsigma_\mathbf{latt\_01} \cup \{\mathbf N \mapsto 1\}$, w której spełnione są równości:

$x \sqcap \neg x = \bot$ oraz $x \sqcup \neg x = \top$,

gdzie $\neg x = \mathcal K(\mathbf N)(x)$ nazywa się uzupełnieniem elementu $x$ w $\mathcal K$.

Komplementarną kratę rozdzielną nazywa się algebrą Boole'a.

Redukt $\mathcal K^\mathbf{d}=\mathcal K|_{\{\mathbf{A}/\mathbf{K},\mathbf{K}/\mathbf{A},\mathbf{N},\mathbf{O}/\mathbf{I},\mathbf{I}/\mathbf{O}\}}$ jest także algebrą Boole'a. Algebrę tę nazywamy dualizacją algebry $\mathcal K$.

Krata implikacyjna

Relacja $\leqslant$ zdefiniowana wzorem

$x \leqslant y \Leftrightarrow x \sqcap y = x$

definiuje w każdej kracie porządek zwany porządkiem kratowym, w którym operacje $\sqcap$ i $\sqcup$ są tożsame z operacjami infimum i supremum. Równoważnie porządek ten można zadać wzorem

$x \leqslant y \Leftrightarrow x \sqcup y = y$.

Krata implikacyjna to wzbogacenie kraty $\mathcal K$ do sygnatury $\varsigma_\mathbf{limpl} = \varsigma_\mathbf{latt\_1} \cup \{\mathbf{C} \mapsto 2\}$, w której zachodzi:

$x \sqcap z \leqslant y \Leftrightarrow z \leqslant x \to y$,

gdzie element $x \to y = \mathcal K(\mathbf{C})(x, y)$ nosi nazwę relatywnego pseudouzupełnienia elementu $x$ względem $y$.

W kracie implikacyjnej zachodzi m.in. związek:

$x \to x = \top$ dla dowolnego $x \in |\mathcal K|$.

Każda krata implikacyjna jest rozdzielna.

Algebra Heytinga

Algebra Heytinga to wzbogacenie kraty implikacyjnej $\mathcal K$ do sygnatury $\varsigma_\mathbf{LH} = \varsigma_\mathbf{limpl} \cup \{\mathbf O \mapsto 0, \mathbf N \mapsto 1\}$, której redukt $\mathcal K|_{\{\mathbf A, \mathbf K, \mathbf O\}}$ jest kratą z zerem i w której zachodzi równość:

$\neg x = x \to \bot$,

gdzie $\neg x = \mathbf{N}^\mathcal{K}(x)$ dla $x \in |\mathcal K|$.

Uwaga 

Algebra Heytinga zazwyczaj nie jest wzbogaceniem algebry Boole'a:

Zobacz też

• algebra nad ciałem,
• algebra liniowa.