Algebra ogólna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathfrak{F} będzie zbiorem i niech \varsigma\colon\mathfrak{F}\to\Bbb{N}_0.

Algebrą sygnatury \varsigma\, jest para \mathcal{A}=\langle A,\mathcal{J}\rangle, gdzie A\, jest zbiorem (zwykle niepustym), a \mathcal{J} jest funkcją, która elementowi \mathfrak{f} zbioru \mathfrak{F} przyporządkowuje \varsigma(\mathfrak{f})-argumentowe działanie \mathcal{J}(\mathfrak{f}) w zbiorze A\,. Zbiór A\, nazywamy uniwersum algebry \mathcal{A}, funkcję \mathcal{J} interpretacją zbioru \mathfrak{F} w algebrze \mathcal{A}.

Dla danej algebry \mathcal{A}, jego uniwersum oznacza się zazwyczaj jako |\mathcal{A}|. Także zamiast pisać \mathcal{J}(\mathfrak{f}) pisze się \mathcal{A}(\mathfrak{f}) albo \mathfrak{f}^{\mathcal{A}}.

Definicja alternatywna[edytuj | edytuj kod]

Algebrą[1] nazywamy zbiór G, na którym określony jest skończony lub nieskończony zbiór  \Omega operacji n-arnych.

Zbiór symboli operacji  \Omega , dla których wskazane są ich arności nazywa się sygnaturą algebry. Dla zapisu tego, że operacja  \omega \in \Omega jest n-arna używa się zapisu  \omega \in \Omega_n .

Obie definicje opisują ten sam obiekt: algebrę, zwaną też czasem algebrą ogólną lub algebrą uniwersalną[1][2]  \omega . W pierwszej definicji zbiór \mathfrak{F} jest zbiorem nazw (symboli) operacji algebry, \mathcal{J} jest funkcją przypisującą nazwie operację n-arną algebry, a funkcja \varsigma przypisuje nazwie operacji jej arność.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  1. Algebra Peano arytmetyki liczb naturalnych,  \mathfrak{N}\,.
    
 \varsigma_\mathbf{PA}=
 \left\langle\begin{array}{c|c|c|c|c}\mathbf{A}&\mathbf{M}&\mathbf{P}&\mathbf{O}&\mathbf{I}\\\hline2&2&2&0&0\end{array}\right\rangle
,
    
\mathfrak{N}(\mathbf{A})(a,b)=a+b\,,\;
\mathfrak{N}(\mathbf{M})(a,b)=a\cdot b\,,\;
    \mathfrak{N}(\mathbf{P})(a,b)=a^b\,,\;\,a,b\in\mathbb{N}_0
oraz \mathfrak{N}(\mathbf{O})=0\,,\;\mathfrak{N}(\mathbf{I})=1
  2. Algebra Presburgera arytmetyki samego dodawania, \mathfrak{N}^{(+)}\,.
    
 \varsigma_\mathbf{Pr}=
 \left\langle\begin{array}{c|c|c}\mathbf{A}&\mathbf{O}&\mathbf{I}\\\hline2&0&0\end{array}\right\rangle ,
      \mathfrak{N}^{(+)}(\mathbf{A})(a,b)=a+b\,,\;\,a,b\in\mathbb{N}_0
  \quad \mbox{oraz}\quad
  \mathfrak{N}^{(+)}(\mathbf{O})=0\,,\;\mathfrak{N}^{(+)}(\mathbf{I})=1.
  3. Algebra Cegielskiego arytmetyki samego mnożenia,  \mathfrak{N}^{(\bullet)}\,.
    
 \varsigma_\mathbf{Ceg}=
 \left\langle\begin{array}{c|c|c}\mathbf{M}&\mathbf{O}&\mathbf{I}\\\hline2&0&0\end{array}\right\rangle ,
      \mathfrak{N}^{(\bullet)}(\mathbf{A})(a,b)=a\cdot b\,,\;\,a,b\in\mathbb{N}_0
  \quad \mbox{oraz}\quad
  \mathfrak{N}^{(\bullet)}(\mathbf{O})=0\,,\;\mathfrak{N}^{(\bullet)}(\mathbf{I})=1.
  4. Algebra arytmetyki liczb całkowitych,  \mathfrak{Z}\,.
    
 \varsigma_\mathfrak{Z}=
 \left\langle\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\mathbf{A}&\mathbf{M}&\mathbf{Sb}&\mathbf{N}&\mathbf{O}&\mathbf{I}\\\hline2&2&2&1&0&0\end{array}\right\rangle
    
  \mathfrak{Z}(\mathbf{A})(a,b)=a+b\,,\;
  \mathfrak{Z}(\mathbf{M})(a,b)=a\cdot b\,,\;
  \mathfrak{Z}(\mathbf{Sb})(a,b)=a-b\,,\;a,b\in\mathbb{Z},
     \mathfrak{Z}(\mathbf{N})(a)=-a\,,\;\;a\in\mathbb{Z} oraz \mathfrak{Z}(\mathbf{O})=0\,,\;\mathfrak{Z}(\mathbf{I})=1.
  5. Algebra podzbiorów zbioru X\,,  \mathfrak{P}_{(X)}\,.
    
 \varsigma_\mathbf{BA}=
 \left\langle\begin{array}{c|c|c|c|c}\mathbf{J}&\mathbf{M}&\mathbf{N}&\mathbf{O}&\mathbf{I}\\\hline2&2&1&0&0\end{array}\right\rangle\,,
      \mathfrak{P}_{(X)}(\mathbf{J})(a,b)=a\cup b\,,\;
  \mathfrak{P}_{(X)}(\mathbf{M})(a,b)=a\cap b\,,\;\;a,b\in\wp(X)\,,\;
     \mathfrak{P}_{(X)}(\mathbf{N})(a)=X\setminus a\,,\;\;a\in\wp(X)\,,
oraz \mathfrak{P}_{(X)}(\mathbf{O})=\emptyset\;\,,\;\mathfrak{P}_{(X)}(\mathbf{I})=X.
  6. Krata podzielności w \mathbb{N}\,,  \mathfrak{D}_{(\mathbb{N})}\,.
    
 \varsigma_{\mathbf{B\cdot Lat}}=
 \left\langle\begin{array}{c|c|c|c}\mathbf{J}&\mathbf{M}&\mathbf{O}&\mathbf{I}\\\hline2&2&0&0\end{array}\right\rangle\,,
     \mathfrak{D}_{(\mathbb{N})}(\mathbf{J})(a,b)=\mathbf{nwd}\{a,b\}\,,\;
 \mathfrak{D}_{(\mathbb{N})}(\mathbf{M})(a,b)=\mathbf{nww}({a,b})\,,\;\;a,b\in\mathbb{N}\,\;
(zob. nww, nwd)
    oraz \mathfrak{D}_{(\mathbb{N})}(\mathbf{O})=1\;\,,\;\mathfrak{D}_{(\mathbb{N})}(\mathbf{I})=0.

Redukty i wzbogacenia[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathcal{A} będzie algebrą sygnatury \varsigma\colon\mathfrak{F}\to\Bbb{N} i niech \mathfrak{F}_0\subseteq\mathfrak{F}.

Reduktem prostym algebry \mathcal{A} do \mathfrak{F}_0 nazywamy algebrę \mathcal{A}|_\mathfrak{F_0}=\langle A,\mathcal{J}|_\mathfrak{F_0}\rangle.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • \mathfrak{N}^{(+)} i \mathfrak{N}^{(\bullet)} są reduktami prostymi \mathfrak{N}
  • Algebrę \mathfrak{P}_{(X)}|_{\{\mathbf{J},\mathbf{M}\}} nazywamy kratą podzbiorów zbioru X\,.

W niektórych wypadkach wprowadzone wyżej pojęcie reduktu prostego może być niewystarczające. Będzie tak np. w sytuacji, gdy na jednym uniwersum będziemy potrzebowali wprowadzić równolegle kilka struktur wzajemnie ze sobą powiązanych jak jest np. w przypadku pierścieni, czy ciał. Wtedy pomocnym okaże się następujące pojęcie reduktu nieprostego:

Redukty nieproste[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathcal{A} będzie algebrą sygnatury \varsigma:\mathfrak{F}\to\mathbb{N} i niech \pi\colon\mathfrak{F}_0\to\mathfrak{F} będzie różnowartościowe. Reduktem nieprostym algebry \mathcal{A} do \pi nazywamy algebrę \mathcal{A}|_{\pi} sygnatury \varsigma\circ\pi, której uniwersum jest |\mathcal{A}| i w której

\mathfrak{f}^{(\mathcal{A}|_{\pi})}=\mathcal{A}\big(\pi(\mathfrak{f})\big)\quad,\qquad f\in\mathfrak{F}_0

Algebra \mathcal{B} jest wzbogaceniem (prostym) algebry \mathcal{A}, jeśli \mathcal{A} jest reduktem (prostym) algebry \mathcal{B}.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Pierścień to taka algebra \mathcal{R} sygnatury \varsigma_\mathbf{ring}=\left\langle\begin{array}{c|c|c|c}\mathbf{A}&\mathbf{M}&\mathbf{N}&\mathbf{Z}\\\hline2&2&1&0\end{array}\right\rangle, że redukt \mathcal{R}|_{\{\mathbf{A}/\mathbf{M},\mathbf{N},\mathbf{Z}/\mathbf{E}\}} jest grupą przemienną, a \mathcal{R}|_{\{\mathbf{M}\}} jest półgrupą oraz spełnione są równości:

x\cdot(y+z)=x\cdot y+x\cdot z\quad\mbox{i}\quad (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z\qquad,\quad x,y,z\in|\mathcal{R}|.

gdzie


 x+y=\mathbf{A}^{\mathcal{R}}(x,y)\,,\;
 x\cdot y=\mathbf{M}^{\mathcal{R}}(x,y)\,,\;
 -x=\mathbf{N}^{\mathcal{R}}(x)\,,\;
  0=\mathbf{Z}^{\mathcal{R}}\,,\qquad x,y\in|\mathcal{R}|.

Tutaj zastosowana jest konwencja notacyjna wedle której \{\mathbf{A}/\mathbf{M},\mathbf{N},\mathbf{Z}/\mathbf{E}\} jest innym zapisem funkcji \pi=\left\langle\begin{array}{c|c|c}\mathbf{M}&\mathbf{N}&\mathbf{E}\\\hline\mathbf{A}&\mathbf{N}&\mathbf{Z}\end{array}\right\rangle

Ciało to taka algebra \mathcal{F} sygnatury \varsigma_\mathbf{field}=\varsigma_\mathbf{ring}\cup\{\mathbf{R}\mapsto1,\mathbf{J}\mapsto0\}, że \mathcal{F}|_{\{\mathbf{A},\mathbf{M},\mathbf{N},\mathbf{Z}\}} jest pierścieniem, a \mathcal{F}|_{\{\mathbf{M},\mathbf{R}/\mathbf{N},\mathbf{J}/\mathbf{E}\}} jest grupą.

Dla wygody przyjmuje się następujące oznaczenia:


 1=\mathbf{A}^{\mathcal{F}}(x,y)\,,\;
 x^{-1} =\mathbf{R}^{\mathcal{F}}(x)\,,\qquad x\in|\mathcal{F}|.

Podalgebry[edytuj | edytuj kod]

Algebra \mathcal{C} jest podalgebrą algebry \mathcal{A}, jeśli

  1. |\mathcal{C}|\subseteq|\mathcal{A}|       oraz       
  2. \mathcal{C}(\mathfrak{f})=\mathcal{A}(\mathfrak{f})|_{\big(|\mathcal{C}|\big)^{\varsigma(\mathfrak{f})}}\;,\mathfrak{f}\in\mathfrak{F}.
Uwaga

Niech \mathcal{A} będzie algebrą. Na to, aby C\subseteq|\mathcal{A}| było uniwersum podalgebry algebry \mathcal{A} potrzeba i wystarcza, aby 
\qquad\mathcal{A}(\mathfrak{f})|_{\big(|\mathcal{C}|\big)^{\varsigma(\mathfrak{f})}}\subseteq|C|\;,\qquad\mathfrak{f}\in\mathfrak{F}

Uwaga

Niech \mathcal{A} będzie algebrą i niech C\subseteq|\mathcal{A}|. Wówczas wśród podalgebr algebry \mathcal{A}, których uniwersum zawiera C\, istnieje algebra najmniejsza.

Algebrę tę nazywamy podalgebrą wyznaczoną przez C\, i oznacza się \mathcal{A}[C] albo \langle C\rangle_{\mathcal A}.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  1. Algebra \mathfrak{N}|_{\{\mathbf{A},\mathbf{M},\mathbf{O},\mathbf{I}\}} jest podalgebrą algebry \mathfrak{Z}|_{\{\mathbf{A},\mathbf{M},\mathbf{O},\mathbf{I}\}}.
  2. Podalgebrą algebry \mathfrak{Z}|_{\{\mathbf{A},\mathbf{M},\mathbf{O},\mathbf{I}\}} generowaną przez \{1\}\, jest \mathfrak{N}|_{\{\mathbf{A},\mathbf{M},\mathbf{O},\mathbf{I}\}}
  3. Podalgebrą algebry \mathfrak{Z} generowaną przez \{1\}\, jest \mathfrak{Z}
  4. Uniwersum podalgebry algebry \mathfrak{Z}|_{\{\mathbf{M}\}} generowanej przez \{-1\}\, jest \{-1,1\}\,
  5. Podalgebrą algebry \mathfrak{Z}|_{\{\mathbf{A},\mathbf{M}\}} generowanej przez \{-1\}\, jest \mathfrak{Z}_{\{\mathbf{A},\mathbf{M}\}}

Homomorfizmy[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathcal{A} i \mathcal{B} będą algebrami tej samej sygnatury \varsigma\colon\mathfrak{F}\to\Bbb{N}_0.
Funkcję h\colon|\mathcal{A}|\to|\mathcal{B}| jest homomorfizmem algebr \mathcal{A} i \mathcal{B}, jeśli


\mathcal{B}(\mathfrak{f})\big( h(a_1),\ldots, h(a_{\varsigma(\mathfrak{f})})\big)=
 h\big( \mathcal{A}(\mathfrak{f})(a_1,\ldots, a_{\varsigma(\mathfrak{f})}) \big)\quad,\qquad
a_1,\ldots, a_{\varsigma(\mathfrak{f})}\in|\mathcal{A}|\;,\;\mathfrak{f}\in\mathfrak{F}.

Rodzinę wszystkich homomorfizmów z \mathcal{A} do \mathcal{B} oznaczamy \mathbf{hom}(\mathcal{A},\mathcal{B}).

Homomorfizm różnowartościowy nazywamy monomorfizmem. Rodzinę wszystkich monomorfizmów z \mathcal{A} do \mathcal{B} oznaczamy \mathbf{mon}(\mathcal{A},\mathcal{B}).

Homomorfizm "na" nazywamy epimorfizmem. Rodzinę wszystkich epoimorfizmów z \mathcal{A} do \mathcal{B} oznaczamy \mathbf{epi}(\mathcal{A},\mathcal{B}).

Różnowartościowy epimorfizm, to izomorfizm. Rodzinę wszystkich izomorfizmów z \mathcal{A} do \mathcal{B} oznaczamy \mathbf{iso}(\mathcal{A},\mathcal{B}).

Homomorfizmy algebry w siebie, to endomorfizmy. Izomorfizmy w siebie, to automorfizmy.

Rodzinę wszystkich endomorfizmów algebry \mathcal{A} oznaczamy \mathbf{endo}(\mathcal{A}). Rodzinę wszystkich automorfizmów algebry \mathcal{A} oznaczamy \mathbf{aut}(\mathcal{A}).

Rodzina automorfizmów algebry w siebie tworzy z działaniem składania odwzorowań grupę.

Zauważmy, że algebra \mathcal{A} jest podalgebrą algebry \mathcal{B} wtedy i tylko wtedy, gdy \mathbf{id}_{|\mathcal{A}|}\in\mathbf{hom}(\mathcal{A},\mathcal{B}).

Jeśli h\in\mathbf{hom}(\mathcal{A},\mathcal{B}), to podalgebrę algebry \mathcal{B} wyznaczoną przez h\grave{}\,\grave{}|\mathcal{A}| nazywamy obrazem homomorfizmu h i oznaczamy \mathbf{im}(h).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  1. Odwzorowanie \mathbb{N}\ni x\mapsto 2x\in\mathbb{Z} jest w  \mathbf{hom}(\mathfrak{N}_{\{\mathbf{O},\mathbf{A}\}}\,,\,\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{O},\mathbf{A}\}}),
    ale nie jest ani w \mathbf{hom}(\mathfrak{N}_{\{\mathbf{O},\mathbf{I},\mathbf{A}\}}\,,\,\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{O},\mathbf{I},\mathbf{A}\}}), ani w \mathbf{hom}(\mathfrak{N}_{\{\mathbf{O},\mathbf{M},\mathbf{A}\}}\,,\,\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{O},\mathbf{M},\mathbf{A}\}}).
  2. Odwzorowanie \mathbb{Z}\ni x\mapsto |x|\in\mathbb{N} jest w \mathbf{hom}(\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{O},\mathbf{I},\mathbf{M}\}}\,,\,\mathfrak{N}_{\{\mathbf{O},\mathbf{I},\mathbf{M}\}}), ale nie jest w \mathbf{hom}(\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{O},\mathbf{I},\mathbf{A}\}}\,,\,\mathfrak{N}_{\{\mathbf{O},\mathbf{I},\mathbf{A}\}}).
  3. Jedynym homomorfizmem \mathfrak{Z}_{\{\mathbf{O},\mathbf{A},\mathbf{M}\}}\mathfrak{N}_{\{\mathbf{O},\mathbf{A},\mathbf{M}\}} jest h\equiv0.
  4. Jedynymi homomorfizmami \mathfrak{N}_{\{\mathbf{O},\mathbf{A},\mathbf{M}\}}\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{O},\mathbf{A},\mathbf{M}\}}h\equiv0h\equiv\mathbf{id}_\mathbb{N}.
  5. Jedynym homomorfizmem \mathfrak{N}_{\{\mathbf{O},\mathbf{I},\mathbf{A},\mathbf{M}\}}\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{O},\mathbf{I},\mathbf{A},\mathbf{M}\}} jest h\equiv\mathbf{id}_\mathbb{N}.
  6. Jedynymi homomorfizmami \mathfrak{N}_{\{\mathbf{O},\mathbf{A}\}}\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{O},\mathbf{A}\}} są postaci \mathbb{N}\ni x\mapsto k\cdot x\in\mathbb{Z}, dla pewnego k\in\mathbb{Z}.

Kongruencje, zasadnicze twierdzenie algebry[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathcal{A} będzie algebrą sygnatury \varsigma\colon\mathfrak{F}\to\Bbb{N}_0.
Relacja równoważności \approx w |\mathcal{A}| jest kongruencją algebry, gdy


a_1\approx b_1,\ldots,a_{\varsigma(\mathfrak{f})}\approx b_{\varsigma(\mathfrak{f})}\quad\Rightarrow\quad
\mathcal{A}(\mathfrak{f})(a_1,\ldots,a_{\varsigma(\mathfrak{f})})\approx
\mathcal{A}(\mathfrak{f})(b_1,\ldots,b_{\varsigma(\mathfrak{f})}),
a_1,\ldots,a_{\varsigma(\mathfrak{f})}\,,\;
b_1,\ldots,b_{\varsigma(\mathfrak{f})}\in|\mathcal{A}|\;,\;\mathfrak{f}\in\mathfrak{F}.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Niech h\in\mathbf{hom}(\mathcal{A},\mathcal{B}) i niech

a\approx_hb\quad\Leftrightarrow\quad h(a)=h(b)\qquad,\quad\qquad a,b\in|\mathcal{A}|

Wówczas \approx_h jest kongruencją algebry \mathcal{A}.

Algebra ilorazowa[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathcal{A} będzie algebrą sygnatury \varsigma\colon\mathfrak{F}\to\Bbb{N}_0 i niech \approx będzie kongruencją w \mathcal{A}.
Algebrą ilorazową \mathcal{A} przez \approx jest algebra \mathcal{A}/\!_{\approx}, której uniwersum jest zbiór ilorazowy |\mathcal{A}|/\!_{\approx} i w której:


\left(\mathcal{A}\!/\!_{\approx}\right)(\mathfrak{f})(a_1/\!_{\approx},\ldots,a_{\varsigma(\mathfrak{f})}/\!_{\approx})=
\left(\mathcal{A}(\mathfrak{f})(a_1,\ldots,a_{\varsigma(\mathfrak{f})})\right)\!\!/\!_{\approx}\quad,\qquad
a_1,\ldots,a_{\varsigma(\mathfrak{f})}\in|\mathcal{A}|\;,\;\mathfrak{f}\in\mathfrak{F}

Przyporządkowanie |\mathcal{A}|\ni a\mapsto a\!/\!_{\approx}\in|\mathcal{A}|/\!_{\approx} nazywamy odwzorowaniem kanonicznym i oznaczamy je symbolem \kappa_\approx. Jest ono homomorfizmem algebr \mathcal{A}  i  \mathcal{A}/\!_{\approx}.

Zasadnicze twierdzenie algebry[edytuj | edytuj kod]

Niech h\in\mathbf{hom}(\mathcal{A},\mathcal{B}), wówczas \mathcal{A}\!/\!_{\approx_h} i \mathbf{im}(h) są izomorficzne.

Szczególne algebry[edytuj | edytuj kod]

W poniższej sekcji opisano ważne z punktu widzenia matematyki algebry ogólne.

Zbiór[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: zbiór.

Zbiór to algebra \mathcal S sygnatury \varsigma_\mathbf{set} = \varnothing.

Jest to przypadek zdegenerowany, z punktu widzenia algebry – nieistotny.

Zbiór z wyróżnionym punktem[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: zbiór z wyróżnionym punktem.

Zbiór z wyróżnionym punktem to algebra \mathcal S sygnatury \varsigma_\mathbf{set\bullet} = \{\mathbf P \mapsto 0\}, gdzie element \mathbf{P}^\mathcal{S} nazywa się elementem bądź punktem wyróżnionym algebry \mathcal S.

Element ten oznacza się niekiedy symbolem \bullet. Zazwyczaj jednak element wyróżniony oznacza się małą literą, która służy do oznaczania uniwersum algebry (czasem z indeksem dolnym 0).

Algebra unarna[edytuj | edytuj kod]

Algebra unarna to algebra \mathcal{U} sygnatury \varsigma_\mathbf{unalg} = \{\mathbf R \mapsto 1\}, gdzie \mathbf R^\mathcal A(x) może mieć wiele różnych oznaczeń w zależności od zastosowań, np. \sim\!x, \neg x, czy -x w notacji prefiksowej, x', x^{-1} w notacji postfiksowej, czy też \overline{x} z wykorzystaniem znaków diakrytycznych.

Grupoid[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: grupoid.

Grupoid to algebra \mathcal A sygnatury \varsigma_\mathbf{grpd} = \{\mathbf M \mapsto 2\}, czyli inaczej mówiąc zbiór z działaniem dwuargumentowym.

Zamiast \mathcal A(\mathbf M)(x, y) zwykle pisze się x \cdot y lub nawet xy (tzw. notacja multyplikatywna) lub x + y (tzw. notacja addytywna), gdzie x, y \in |\mathcal A|.

W notacji multyplikatywnej działanie grupoidu nazywa się mnożeniem, a w notacji addytywnej – dodawaniem. Notacja addytywna używana jest zazwyczaj, gdy działanie grupoidu jest przemienne.

Quasi-grupa[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: quasi-grupa.

Quasi-grupa to wzbogacenie grupoidu \mathcal A do sygnatury \varsigma_\mathbf{qgrp} = \varsigma_\mathbf{grpd}\cup\{\mathbf{D_l} \mapsto 2, \mathbf{D_r} \mapsto 2\}, w którym spełnione są równości:

x \cdot (x \backslash y) = y,\; x \backslash (x \cdot y) = y,\; (x / y) \cdot y = x,\; (x \cdot y) / y = x,

gdzie

x \backslash y := \mathcal A(\mathbf{D_l})(x, y),\; x / y := \mathcal A(\mathbf{D_r})(x, y), gdzie x, y \in |\mathcal A|.

Działania „/” i „\backslash” nazywa się odpowiednio dzieleniem prawo- i lewostronnym.

Lupa[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: quasi-grupa.

Lupa (pętla) to wzbogacenie quasigrupy \mathcal A do sygnatury \varsigma_\mathbf{qgrp} \cup \{\mathbf E \mapsto 0\}, które spełnia równości

x \cdot \mathbf e = \mathbf e \cdot x = x,\; x \in |\mathcal A|,

gdzie \mathbf e = \mathcal A(\mathbf E).

Innymi słowy, pętla to quasigrupa z elementem neutralnym mnożenia.

Półgrupa[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: półgrupa.

Półgrupa to grupoid z działaniem łącznym.

Monoid[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: monoid.

Monoid to wzbogacenie półgrupy \mathcal A do sygnatury \varsigma_\mathbf{mon} = \varsigma_\mathbf{grpd} \cup \{\mathbf E \mapsto 0\}, które spełnia równości

x \cdot \mathbf e = \mathbf e \cdot x = x,\; x \in |\mathcal A|,

gdzie \mathbf e = \mathcal A(\mathbf E) w notacji multyplikatywnej, często też 1 = \mathcal A(\mathbf E). W notacji addytywnej zamiast \mathcal A(\mathbf E) pisze się zwykle 0.

Monoid można określić jako półgrupę z elementem neutralnym działania tej półgrupy.

Grupa[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: grupa (matematyka).

Grupa jest wzbogaceniem monoidu \mathcal A do sygnatury \varsigma_\mathbf{mon} \cup \{\mathbf R \mapsto 1\}, które spełnia równości

x \cdot \mathcal A(\mathbf R)(x) = \mathcal A(\mathbf R)(x) \cdot x = \mathbf e dla x \in |\mathcal A|.

Standardowym oznaczeniem \mathcal A(\mathbf R)(x) jest x^{-1}, niekiedy również x^\prime, w notacji multyplikatywnej; element ten nazywa się wtedy elementem odwrotnym do x. W notacji addytywnej element ten oznacza się symbolem -x i nazywa elementem przeciwnym do x.

Grupa to, innymi słowy, monoid z operacją brania elementu odwrotnego/przeciwnego.

Pierścień[edytuj | edytuj kod]

Pierścień to algebra \mathcal R sygnatury \varsigma_\mathbf{ring} = \left\langle \begin{array}{c|c|c|c}\mathbf A & \mathbf M & \mathbf N & \mathbf Z \\ \hline 2 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right\rangle, dla której redukt \mathcal R|_{\{\mathbf A / \mathbf M, \mathbf N / \mathbf R, \mathbf Z / \mathbf E\}} jest grupą przemienną, a \mathcal R|_{\{\mathbf M\}} jest półgrupą oraz spełnione są równości:

x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z i (x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z dla x, y, z \in |\mathcal R|,

gdzie

x + y = \mathbf A^{\mathcal R}(x, y),
x \cdot y = \mathbf M^{\mathcal R}(x,y),
-x = \mathbf N^{\mathcal R}(x),
0 = \mathbf Z^{\mathcal R}

dla x, y \in |\mathcal R|.

Działanie \mathbf A^\mathcal R nazywamy dodawaniem pierścienia, a działanie \mathbf M^\mathcal R jego mnożeniem.

Uwaga
W dowolnym pierścieniu zachodzi 0 \cdot x = x \cdot 0 = 0.
Ponieważ 0 \cdot x = (0 + 0) \cdot x = 0 \cdot x + 0 \cdot x, to 0 \cdot x = 0. Podobnie x \cdot 0 = 0.

Pierścień, w którym działanie \mathbf M^\mathcal R jest przemienne nazywa się pierścieniem przemiennym.

Pierścień z jedynką[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: pierścień z jedynką.

Pierścień z jedynką to algebra \mathcal R sygnatury \varsigma_\mathbf{ring1} = \varsigma_\mathbf{ring} \cup \{\mathbf J \mapsto 0\}, że \mathcal R_{\{\mathbf A, \mathbf M, \mathbf N, \mathbf Z\}} jest pierścieniem, a \mathcal R_{\{\mathbf M, \mathbf J / \mathbf E\}} jest monoidem.

Element \mathbf J^\mathcal R nazywamy jedynką pierścienia \mathcal R. Oznaczamy go zazwyczaj symbolem 1.

Pierścień z dzieleniem[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: pierścień z dzieleniem.

Pierścień z dzieleniem to algebra \mathcal R sygnatury \varsigma_\mathbf{ring1} \cup \{\mathbf R \mapsto 1\}, że \mathcal R|_{\{\mathbf A, \mathbf M, \mathbf N, \mathbf Z\}} jest pierścieniem, a  \mathcal R|_{\{\mathbf M, \mathbf R, \mathbf J / \mathbf E\}} jest grupą.

Dla wygody przyjmuje się oznaczenie:

x^{-1} = \mathbf R^{\mathcal R}(x), gdzie x \in |\mathcal R|.

Ciało[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: ciało (matematyka).

Ciało to pierścień z dzieleniem z przemiennym działaniem mnożenia.

Krata[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: krata (porządek).

Kratą nazywamy algebrę \mathcal K sygnatury \varsigma_\mathbf{latt} = \{\mathbf A \mapsto 2, \mathbf K \mapsto 2\}, w której spełnione są równości:

x \sqcap y = y \sqcap x, \quad x \sqcap (y \sqcap z) = (x \sqcap y) \sqcap z, \quad x \sqcap (x \sqcup y) = x,
x \sqcup y = y \sqcup x, \quad x \sqcup (y \sqcup z) = (x \sqcup y) \sqcup z, \quad x \sqcup (x \sqcap y) = x,

gdzie użyto oznaczeń

x \sqcup y = \mathcal K(\mathbf A)(x, y)

oraz

x \sqcap y = \mathcal K(\mathbf K)(x, y).

Krata rozdzielna to krata spełniająca co najmniej jedną z równości (pozostała równość wynika z przyjętej):

x \sqcap (y \sqcup z) = (x \sqcap y) \sqcup (x \sqcap z)

bądź

x \sqcup (y \sqcap z) = (x \sqcup y) \sqcap (x \sqcup z).

Innym warunkiem, tak koniecznym jak i dostatecznym, na rozdzielność kraty jest zachodzenie równości:

(x \sqcap y) \sqcup (y \sqcap z) \sqcup (y \sqcap z) = (x \sqcup y) \sqcap (y \sqcup z) \sqcap (y \sqcup z), gdzie x, y, z \in |\mathcal K|.

Krata jest nierozdzielna, gdy zawiera podkratę izomorficzną z jedną z poniższych krat:

Minimalne kraty nierozdzielne

Należy jednak być przezornym, niżej zaprezentowane kraty rozdzielne:

To są kraty rozdzielne, mimo iż wydaje się, że zawierają wymienione wyżej kraty

Krata dualna[edytuj | edytuj kod]

Redukt \mathcal K^\mathbf{d}=\mathcal K|_{\{\mathbf{A}/\mathbf{K},\mathbf{K}/\mathbf{A}\}} jest także kratą. Kratę tę nazywamy kratą dualną do \mathcal K. Krata dualna do kraty rozdzielnej jest kratą rozdzielną.

Krata z „zerem”[edytuj | edytuj kod]

Krata z „zerem” to wzbogacenie kraty \mathcal K do sygnatury \varsigma_\mathbf{latt\_0} = \varsigma_\mathbf{latt} \cup \{\mathbf O \mapsto 0\}, w której spełnione są równości:

x \sqcap \bot = \bot oraz x \sqcup \bot = x,

gdzie element \bot = \mathcal K(\mathbf O) nazywa się spodem lub zerem kraty \mathcal K.

Krata z „jedynką”[edytuj | edytuj kod]

Krata z „jedynką” to wzbogacenie kraty \mathcal K do sygnatury \varsigma_\mathbf{latt\_1} = \varsigma_\mathbf{latt} \cup \{\mathbf I \mapsto 0\}, w której spełnione są równości:

x \sqcap \top = x oraz x \sqcup \top = \top,

gdzie element \top = \mathcal K(\mathbf I) nazywa się szczytem lub jedynką kraty \mathcal K.

Krata ograniczona[edytuj | edytuj kod]

Krata ograniczona to wzbogacenie kraty \mathcal K do sygnatury \varsigma_\mathbf{latt\_01} = \varsigma_\mathbf{latt} \cup \{\mathbf O \mapsto 0, \mathbf I \mapsto 0\}, że \mathcal K|_{\{\mathbf A, \mathbf K, \mathbf O\}} jest kratą z zerem, a \mathcal K|_{\{\mathbf A, \mathbf K, \mathbf I\}} jest kratą z jedynką.

Krata komplementarna[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: algebra Boole'a.

Krata komplementarna to wzbogacenie kraty ograniczonej do sygnatury \varsigma_\mathbf{lcmpl} = \varsigma_\mathbf{latt\_01} \cup \{\mathbf N \mapsto 1\}, w której spełnione są równości:

x \sqcap \neg x = \bot oraz x \sqcup \neg x = \top,

gdzie \neg x = \mathcal K(\mathbf N)(x) nazywa się uzupełnieniem elementu x\mathcal K.

Komplementarną kratę rozdzielną nazywa się algebrą Boole'a.

Redukt \mathcal K^\mathbf{d}=\mathcal K|_{\{\mathbf{A}/\mathbf{K},\mathbf{K}/\mathbf{A},\mathbf{N},\mathbf{O}/\mathbf{I},\mathbf{I}/\mathbf{O}\}} jest także algebrą Boole'a. Algebrę tę nazywamy dualizacją algebry \mathcal K.

Krata implikacyjna[edytuj | edytuj kod]

Relacja \leqslant zdefiniowana wzorem

x \leqslant y \Leftrightarrow x \sqcap y = x

definiuje w każdej kracie porządek zwany porządkiem kratowym, w którym operacje \sqcap\sqcup są tożsame z operacjami infimumsupremum. Równoważnie porządek ten można zadać wzorem

x \leqslant y \Leftrightarrow x \sqcup y = y.

Krata implikacyjna to wzbogacenie kraty \mathcal K do sygnatury \varsigma_\mathbf{limpl} = \varsigma_\mathbf{latt\_1} \cup \{\mathbf{C} \mapsto 2\}, w której zachodzi:

x \sqcap z \leqslant y \Leftrightarrow z \leqslant x \to y,

gdzie element x \to y = \mathcal K(\mathbf{C})(x, y) nosi nazwę relatywnego pseudouzupełnienia elementu x względem y.

W kracie implikacyjnej zachodzi m.in. związek:

x \to x = \top dla dowolnego x \in |\mathcal K|.

Każda krata implikacyjna jest rozdzielna.

Algebra Heytinga[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: algebra Heytinga.

Algebra Heytinga to wzbogacenie kraty implikacyjnej \mathcal K do sygnatury \varsigma_\mathbf{LH} = \varsigma_\mathbf{limpl} \cup \{\mathbf O \mapsto 0, \mathbf N \mapsto 1\}, której redukt \mathcal K|_{\{\mathbf A, \mathbf K, \mathbf O\}} jest kratą z zerem i w której zachodzi równość:

\neg x = x \to \bot,

gdzie \neg x = \mathbf{N}^\mathcal{K}(x) dla x \in |\mathcal K|.

Uwaga 
Algebra Heytinga zazwyczaj nie jest wzbogaceniem algebry Boole'a:
Przykład algebry Heytinga, która nie jest algebrą Boole'a

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Zobacz publikację na Wikibooks:
Algebra abstrakcyjna

Przypisy

  1. 1,0 1,1 А. Г. Курош: Общая алгебра. Лекции 1969-1970 учебного года. Wyd. 1. Наука, 1974, s. 11.
  2. Л. А. Скорняков: Элементы общей алгебры. Wyd. 1. Наука, 1983, s. 31, 32.