Algebra von Neumanna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Algebra von Neumanna (albo W*-algebra) – *-podalgebra C*-algebry operatorów ograniczonych B(H) na pewnej przestrzeni Hilberta H, która jest domknięta w słabej topologii operatorowej. Domkniętość w słabej topologii operatorowej gwarantuje również domkniętość względem normy w B(H), a więc każda algebra von Neumanna jest, w szczególności, C*-algebrą.

Teoria algebr von Neumanna zapoczątkowana została z końcem lat dwudziestych XX wieku przez Johna von Neumanna i Francisa Murray'a[1][2][3][4][5] (używali oni nazwy pierścienie operatorowe) i motywowana była potrzebą formalizacji języka mechaniki kwantowej[6]. Nazwa algebra von Neumanna pojawia się po raz pierwszy w książce Dixmiera[7] jednak on sam przypisuje ją Dieudonnému[8]. W literaturze nazwa ta była używana wymiennie z nazwą W*-algebra (od ang. weakly closed *-algebra). Niektórzy autorzy (np. Takesaki) dokonują następującego rozróżnienia nazywając W*-algebrą C*-algebrę A, która maja wierną (różnowartościową) reprezentację (π, H) na przestrzeni Hilberta H o tej własności, iż obraz π(A) ⊆ B(H) jest algebrą von Neumanna (w zdefiniowanym wyżej sensie).

Spis treści

Podstawowe własności [edytuj]

  • Każda algebra von Neumanna ma jedynkę.
  • Domknięta kula jednostkowa algebry von Neumanna jest zwarta w słabej topologii operatorowej.
  • Algebra von Neumanna jest ośrodkowa względem normy wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończenie wymiarowa.
  • Każda nieskończenie wymiarowa algebra von Neumanna zawiera nieskończenie wymiarową podalgebrę przemienną, która jest również algebrą von Neumanna.

Twierdzenie von Neumanna o drugim komutancie [edytuj]

Information icon.svg Osobny artykuł: Twierdzenie von Neumanna o drugim komutancie.

Mimo iż definicja algebry von Neumanna używa pojęcia słabej topologii operatorowej, jest ona równoważna definicji czysto algebraicznej. Niech H będzie przestrzenią Hilberta. Dla danego podzbioru A ⊆ B(H) symbol A’ oznacza komutant zbioru A, tj. zbiór {x ∈ B(H): ∀a ∈ A (xa = ax)}. Analogicznie, A’’ oznacza drugi komutant zbioru A, tj. komutant komutanta A’.

Niech M będzie pod-*-algebrą B(H) zawierającą operator identyczności I. Wówczas następujące warunki są równoważne:

  1. M = M ’’;
  2. M jest domknięta w słabej topologii operatorowej (tj. M jest algebrą von Neumanna);
  3. M jest domknięta w mocnej topologii operatorowej;
  4. M jest domknięta w topologii ultrasłabej,

przy czym topologia ultrasłaba to topologia *-słaba pochodząca z dualności N(H)* = B(H), gdzie N(H) oznacza przestrzeń Banacha operatorów nuklearnych (śladowych) na H.

Różni autorzy używają wymiennie wymienionych wyżej warunków do zdefiniowania pojęcia algebry von Neumanna.

Przykłady [edytuj]

  • Każda skończenie wymiarowa C*-algebra oraz algebra operatorów B(H) na dowolnej przestrzeni Hilberta H są naturalnymi przykładami algebr von Neumanna.
  • Niech μ będzie miarą lokalizowalną (a więc, na przykład, miarą σ-skończoną) na przestrzeni mierzalnej X. Wówczas przestrzeń H = L2(μ) jest przestrzenią Hilberta. Na przestrzeni tej działają w naturalny sposób operatory mnożenia przez funkcje z L∞(μ), tj. każdej funkcji f ∈ L∞(μ) odpowiada operator (ograniczony) Tf ∈ B(L2(μ)) dany wzorem Tf g = fg. Rodzina wszystkich operatorów mnożenia Tf jest przemienną podalgebrą B(L2(μ)), która jest algebrą von Neumanna (w ten sposób utożsamia się algebrę L∞(μ) z algebrą operatorów). Można udowodnić, że każda przemienna algebra von Neumanna jest postaci L∞(μ) dla pewnej miary lokalizowalnej μ.
  • Dla dowolnej C*-algebry A ⊆ B(H) jej drugi komutant A’’ jest algebrą von Neumanna.
  • Jeżeli A jest (być może abstrakcyjną) C*-algebrą, to jej druga przestrzeń sprzężona A** (wyposażona w iloczyn Arensa; C*-algebry są regularne w sensie Arensa) jest *-izomorficzna z algebrą von Neumanna. Algebra A** jest uniwersalną algebrą von Neumanna dla A w następującym sensie: Niech (π, H) będzie reprezentacją A na przestrzeni Hilberta H oraz niech M(π) oznacza algebrę von Neumanna π(A)’’. Wówczas istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe Π: A** → M(π) o następujących własnościach: π = Π κ, gdzie κ: A → A** jest kanonicznym zanurzeniem A w A**; Π jest σ(A**, A*) / σ-weak ciągłe; Π(BA**) = BM(π). W szczególności, jeżeli (π, H) jest uniwersalną reprezentacją algebry A (tj. sumą prostą po wszystkich GNS-reprezentacjach pochodzących od stanów na A), to A** jest *-izomorficzna z π(A)’’.

Typy [edytuj]

Algebry von Neumanna dzielą się na trzy zasadnicze typy:

  • typ I: M jest typu I, gdy jest izomorficzna z algebrą postaci
\textstyle \prod_{j\in J} A_j\, \overline{\otimes}\, \mathcal{B}(H_j),
gdzie dla każdego j algebra Aj jest przemienną algebrą von Neumanna oraz Hj jest pewną przestrzenią Hilberta (j ∈ J).
  • typ II1: M jest typu II1, gdy nie da się jej rozłożyć na sumę algebr spośród których co najmniej jedna jest typu I oraz dla każdego 0 < x ∈ M istnieje taki normalny śladowy stan φ ∈ M*, że φ(x) > 0.
  • typ II∞: M jest typu II∞, gdy nie da się jej rozłożyć na sumę algebr spośród których co najmniej jedna jest typu I bądź II1 oraz istnieje rosnąca sieć rzutów (pi) ⊂ M, zbieżna do 1M w mocnej topologii operatorowej, o tej własności, że dla każdego i algebra pi M pi jest typu II1.
  • typ III: M jest typu III, gdy nie jest typu I, II1 ani typ II∞.

Każda algebra von Neumanna M rozkłada się na sumę

M = M_{{\rm I}} \oplus M_{{{\rm II}}_1} \oplus M_{{{\rm II}}_\infty} \oplus M_{{\rm III}},

gdzie każdy z (być może zerowych) jest takiego typu jaki wskazany jest w indeksie dolnym.

Przypisy

  1. ↑ J. von Neumann, Zur Theorie der unbeschränkten Matrizen, J. Reine Angew Math. vol. 161 (1929) 208–236.
  2. ↑ J. von Neumann, On a certain topology for rings of operators, Ann. of Math. (2) 37 (1936), no. 1, 111–115.
  3. ↑ F. J. Murray, J. von Neumann, On rings of operators, Ann. of Math. (2) 37 (1936), no. 1, 116–229. MR 1503275, http://dx.doi.org/10.2307/1968693
  4. ↑ F. J. Murray and J. von Neumann, On rings of operators. II, Trans. Amer. Math. Soc. 41 (1937), no. 2, 208–248. MR 1501899, http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-1937-1501899-4
  5. ↑ J. von Neumann, On rings of operators, III, Ann. of Math. vol. 41 (1940) 94–161.
  6. ↑ J. von Neumann, On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism (Part I). Rec. Math (Mat. Sbornik) N. S. vol. 1 (1936) 415–484.
  7. ↑ J. Dixmier, Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von Neumann, Gauthier-Villars, 1957
  8. ↑ M. Raussen, Interview with Jacques Dixmier. Eur. Math. Soc. Newsl. 72 (2009), 34–41.
Źródło „http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Algebra_von_Neumanna&oldid=36187748”