Ameba (matematyka)

W matematyce, ameba jest zbiorem związanym z wielomianem jednej lub wielu zmiennych zespolonych. Ameby znajdują zastosowanie w geometrii algebraicznej.

Rozważmy funkcję:

$\mbox{Log}\colon \left({\mathbb C}\backslash\{0\}\right)^n \to \mathbb R^n, \ \mbox{Log}(z_1, z_2, \dots, z_n)= (\ln |z_1|, \ln|z_2|, \dots, \ln |z_n|)$

Ameba wielomianu
$p(z, w)=w-2z-1.\,$

Ameba wielomianu
$p(z, w)=3z^2\,$
$+5zw+w^3+1.\,$
Wewnątrz ameby widoczna "wakuola".

Ameba wielomianu
$P(z, w)=1 + z\,$ $+ z^2 + z^3 + z^2w^3\,$ $+ 10zw + 12z^2w\,$ $+ 10z^2w^2.\,$

Ameba wielomianu
$P(z, w)=50 z^3\,$ $+83 z^2 w+24 z w^2\,$ $+w^3+392 z^2\,$ $+414 z w+50 w^2\,$ $-28 z +59 w-100.\,$

Niech $p(z)$ będzie wielomianem $n$ zmiennych zespolonych – jego pierwiastki są wektorami postaci $z=(z_1, z_2, \dots, z_n)$. Amebą wielomianu $p$ nazywamy zbiór ${\mathcal A}_p$:

${\mathcal A}_p = \left\{\mbox{Log} (z)\colon \, z\in \left({\mathbb C}\backslash\{0\}\right)^n, p(z)=0\right\}.\,$

Ameby zostały zdefiniowane w 1994 roku, w książce Gelfanda, Kapranowa, i Żełwińskiego.

Własności

• Ameba jest zbiorem domkniętym.
• Ameba wielomianu dwu zmiennych zespolonych, różnego od wielomianu zerowego, jest miary dodatniej.

Linki zewnętrzne

• Ameby w geometrii algebraicznej