Analiza harmoniczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Analiza Fouriera)
Wykres funkcji rzeczywistej oraz jej transformaty Fouriera

Analiza harmoniczna, analiza fourierowska – dział analizy matematycznej badający szeregi Fouriera i transformacje Fouriera[1].

Dział ten powstał w XIX wieku przy badaniu równań różniczkowych cząstkowych i od tego czasu skorzystał z osiągnięć innych działów matematyki jak rygorystyczna analiza rzeczywista czy analiza funkcjonalna. Ta pierwsza wypracowała warunki Dirichleta możliwości analizowania funkcji w ten sposób, a ta druga zmieniła perspektywę na szeregi i transformacje Fouriera. Są one rozkładem wektorów w bazie przestrzeni Hilberta za pomocą iloczynu skalarnego.

W XX wieku poczyniono w tej dziedzinie znaczące postępy, m.in. opracowano algorytm szybkiej transformacji Fouriera, poszerzono zakres i metody badań dzięki teorii dystrybucji oraz znaleziono zastosowania w teorii liczb[potrzebny przypis].

Analiza fourierowska to jeden z fundamentów fizyki matematycznej, nie tylko jako narzędzie rozwiązywania jej równań. Jest podstawą analizy drgań i fal w mechanice, optyce i ogólnej teorii względności oraz stanowi fundament fizyki kwantowej, zwłaszcza obrazu Schrödingera. Zasada nieoznaczoności Heisenberga wynika z falowej natury ciał oraz twierdzeń analizy harmonicznej.

Analiza ta prowadzi do utworzenia modelu stanowiącego sumę składowych harmonicznych (harmonik), tj. funkcji sinusoidalnych i cosinusoidalnych w określonym przedziale czasowym. Model ten przyjmuje na ogół postać:

gdzie:

– parametry modelu.

W przypadku, gdy w szeregu czasowym występuje tendencja rozwojowa (trend), model przyjmuje natomiast postać

zaś parametry modelu wynoszą:

dla
dla

Należy jednak pamiętać, iż dla ostatniej składowej harmonicznej natomiast:

[2].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Analiza harmoniczna, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-09-15].
  2. Statystyka od A do Z portal edukacyjny poświęcony statystyce [online], www.statystyka.az.pl [dostęp 2018-01-04].

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Harmonic analysis (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].