Antynomia Russella

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Antynomia Russella lub paradoks Russella – sprzeczność wykryta w naiwnej teorii mnogości przez Bertranda Russella w 1901 roku. Sprzeczność ta stanowiła duży cios dla rozwoju logicyzmu, będącego próbą aksjomatyzacji matematyki, zgodnie z którym wszystkie obiekty matematyczne powinny dać się wyrazić jako zbiory. Obserwacje dokonane przez Russella zmusiły matematyków do rewizji tego fundamentalnego stanowiska i następnie przyjęcia, że istnieją obiekty niebędące zbiorami, opisywane formułami logicznymi – nazywa się je klasami właściwymi. Paradoks ten wynika z autoreferencji, czyli odwoływania się do samego siebie, i ma charakter podobny do takich paradoksów jak paradoks zbioru wszystkich zbiorów, paradoks kłamcy czy paradoks Berry'ego; por. twierdzenia Gödla i problem stopu.

Paradoks[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle V oznacza zbiór zawierający wszystkie takie zbiory \scriptstyle X, dla których \scriptstyle X nie jest elementem \scriptstyle X, tj.

V = \bigl\{X\colon X \notin X\bigl\}.

Zbiór taki istnieć nie może, ponieważ rozpatrując pytanie o to, czy \scriptstyle V jest elementem \scriptstyle V, dochodzi się do sprzeczności: jeśli byłby, to wtedy \scriptstyle V nie spełnia własności elementów zbioru \scriptstyle V,, a więc nie jest elementem \scriptstyle V; jeśli zaś \scriptstyle V nie byłby elementem \scriptstyle V,, to \scriptstyle V musi być elementem \scriptstyle V na mocy definicji tego zbioru[1].

Komentarz[edytuj | edytuj kod]

Anegdotyczne sformułowanie antynomii Russela nosi nazwę „paradoksu fryzjera” lub „paradoksu golibrody”[2]:

Fryzjer, mieszkaniec pewnego miasta, goli tych jego mieszkańców, którzy sami się nie golą. Czy fryzjer goli się sam?

Rozważania dotyczące paradoksu golibrody mogą prowadzić do zaskakujących wniosków. Rozważmy zbiór \scriptstyle X, którego elementy wskazane zostaną za pomocą tzw. funkcji charakterystycznej \scriptstyle \chi_A, która przyjmuje dla danego elementu \scriptstyle x wartość \scriptstyle 1, gdy \scriptstyle x należy do \scriptstyle X, oraz wartość \scriptstyle 0,, gdy \scriptstyle x nie należy do \scriptstyle X. Wykorzystując ten sposób patrzenia na zbiory mężczyzn w mieście, można przypisać do zbioru \scriptstyle S tych z nich, którzy golą się sami, albo do zbioru \scriptstyle G tych mężczyzn, którzy korzystają w tym względzie z usług golibrody. Do którego z nich należy sam golibroda? Dla dowolnego golącego się mężczyzny \scriptstyle m prawdą jest, że \scriptstyle \chi_S(m) + \chi_G(m) = 1, tzn. mężczyzna jest golony (goli się sam albo goli go golibroda). Można się zgodzić, iż golibroda \scriptstyle g w takim samym stopniu należy do tych, którzy golą się sami, jak i do tych, których goli golibroda, tzn. \scriptstyle \chi_S(g) = \chi_G(g). Z równości tych wynika wtedy \scriptstyle \chi_S(g) = \chi_G(g) = \frac{1}{2}. Paradoks ten można więc rozwiązać wprowadzając pośredni, ułamkowy stopień „należenia” do zbioru, które sformalizowano w postaci tzw. zbiorów rozmytych (por. logika trójwartościowa i logika wielowartościowa).

Rozwiązanie paradoksu[edytuj | edytuj kod]

Powszechnie przyjęta dzisiaj aksjomatyka teorii mnogości Zermelo-Fraenkela nie jest sprzeczna z paradoksem Russella. Wyklucza ona istnienie zbiorów, które zawierają same siebie. Jest to zagwarantowane przede wszystkim przez aksjomat regularności[3]. Wynika z tego, że zbiór \scriptstyle V jest "zbiorem wszystkich zbiorów" (gdyż wszystkie zbiory spełniają warunek należenia do niego – nie zawierają same siebie). Jednak na mocy tej aksjomatyki nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów (patrz paradoks zbioru wszystkich zbiorów). Tak więc zbiór \scriptstyle V nie może istnieć. Nie zachodzi sprzeczność z wnioskiem z paradoksu Russella.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Paradoks Russella. encyklopedia.pwn.pl. [dostęp 2011-04-14].
  2. Paradoks fryzjera. www.math.edu.pl. [dostęp 2011-04-14].
  3. Dowód nieistnienia zbiorów zawierających same siebie. mimuw.edu.pl. [dostęp 2012-12-14].