Aproksymacja liniowa

Styczna do wykresu funkcji przechodząca przez punkt (a, f(a))

Aproksymacja liniowa funkcji to przybliżenie jej za pomocą funkcji liniowej.

Interpolacja liniowa

Szczególnym przypadkiem aproksymacji liniowej jest interpolacja liniowa w której wybierane są dwa różne argumenty funkcji, zwane węzłami, po czym konstruowana jest funkcja liniowa mająca w węzłach te same wartości co funkcja przybliżana.

Aproksymacja za pomocą wzoru Taylora

Dla danej funkcji funkcji różniczkowalnej f jednej zmiennej, na mocy wzoru Taylora dla n=1 można napisać:

$f(x) = f(a) + f^\prime(a)(x - a) + R_2(x)$,

gdzie R₂ jest tzw. resztą Peano, spełniającą warunek:

$\lim_{x\to a}\frac{R_2(x)}{x-a}= 0$

Wyrażenie aproksymujące powstaje przez odrzucenie reszty:

$f(x) \approx f(a) + f^\prime(a)(x - a)$

i przybliżenie to jest tym lepsze, im x jest bliższe a. Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie prostej stycznej do wykresu funkcji f(x), w punkcie o współrzędnych $(a,f(a))\,$.

Analogiczne wyrażenie otrzymamy dla funkcji o wartościach (lub argumentach) wektorowych, przy czym pochodną zastępuje macierz Jacobiego funkcji. Na przykład, jeżeli f(x,y) jest funkcją rzeczywistą dwu zmiennych, otrzymujemy wzór:

$f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+\frac{\partial f}{\partial x}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\left(a,b\right)\left(y-b\right).$

Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni, będącej wykresem funkcji z = f(x,y) punkcie o współrzędnych $(a, b, f(a,b)).\,$

Uogólnienie powyższego na przypadek przestrzeni Banacha wygląda następująco:

$f(x) \approx f(a) + Df(a)(x - a)$

gdzie Df(a) jest pochodną Frecheta funkcjif dla x = a.

Przykład

Aproksymację liniową można wykorzystać do obliczenia przybliżonej

wartości $\sqrt[3]{25}$.

1. Rozważamy funkcję $f(x)= x^{1/3}.\,$ Problem polega na

obliczeniu przybliżonej wartości funkcji f(25).

1. Jest

   $f^\prime(x)= 1/3x^{-2/3}.$

2. Korzystając z aproksymacji liniowej

   $f(25) \approx f(27) + f^\prime(27)(25 - 27) = 3 - 2/27.$

3. Otrzymany wynik 2,926, niewiele różni się od wartości dokładnej 2,924…