Aproksymacja liniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Styczna do wykresu funkcji przechodząca przez punkt (a, f(a))

Aproksymacja liniowa funkcji to przybliżenie jej za pomocą funkcji liniowej.

Interpolacja liniowa[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Interpolacja liniowa.

Szczególnym przypadkiem aproksymacji liniowej jest interpolacja liniowa w której wybierane są dwa różne argumenty funkcji, zwane węzłami, po czym konstruowana jest funkcja liniowa mająca w węzłach te same wartości co funkcja przybliżana.

Aproksymacja za pomocą wzoru Taylora[edytuj | edytuj kod]

Dla danej funkcji funkcji różniczkowalnej f jednej zmiennej, na mocy wzoru Taylora dla n=1 można napisać:

 f(x) = f(a) + f^\prime(a)(x - a) + R_2(x) ,

gdzie R_2 jest tzw. resztą Peano, spełniającą warunek:

\lim_{x\to a}\frac{R_2(x)}{x-a}= 0

Wyrażenie aproksymujące powstaje przez odrzucenie reszty:

 f(x) \approx f(a) + f^\prime(a)(x - a)

i przybliżenie to jest tym lepsze, im x jest bliższe a. Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie prostej stycznej do wykresu funkcji f(x), w punkcie o współrzędnych (a,f(a))\,.

Analogiczne wyrażenie otrzymamy dla funkcji o wartościach (lub argumentach) wektorowych, przy czym pochodną zastępuje macierz Jacobiego funkcji. Na przykład, jeżeli f(x, y) jest funkcją rzeczywistą dwu zmiennych, otrzymujemy wzór:

f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+\frac{\partial f}{\partial x}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\left(a,b\right)\left(y-b\right).

Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni, będącej wykresem funkcji z=f(x, y) punkcie o współrzędnych (a, b, f(a,b)).\,

Uogólnienie powyższego na przypadek przestrzeni Banacha wygląda następująco:

 f(x) \approx f(a) + Df(a)(x - a)

gdzie Df(a) jest pochodną Frecheta funkcjif dla x=a.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Aproksymację liniową można wykorzystać do obliczenia przybliżonej

wartości \sqrt[3]{25}.

  1. Rozważamy funkcję  f(x)= x^{1/3}.\, Problem polega na

obliczeniu przybliżonej wartości funkcji f(25).

  1. Jest
     f^\prime(x)= 1/3x^{-2/3}.
  2. Korzystając z aproksymacji liniowej
     f(25) \approx f(27) + f^\prime(27)(25 - 27) = 3 - 2/27.
  3. Otrzymany wynik 2,926, niewiele różni się od wartości dokładnej 2,924…