Funkcje hiperboliczne odwrotne

Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie wyniku funkcji area

Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie wyniku funkcji odwrotnych do trygonometrycznych

Funkcje hiperboliczne odwrotne (funkcje polowe, funkcje area) – funkcje odwrotne do funkcji hiperbolicznych. Ich nazwy odzwierciedlają fakt, że wartości tych funkcji są równe polom odpowiednich wycinków hiperboli jednostkowej $x^2-y^2=1\;$, w analogiczny sposób, jak funkcje odwrotne do trygonometrycznych są równe polom wycinków koła jednostkowego $x^2+y^2=1.\;$

Definiuje się je następującymi wzorami:

$\operatorname{arsinh}\ x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$

(area sinus hiperboliczny) - funkcja odwrotna do sinusa hiperbolicznego

$\operatorname{arcosh}\ x = \ln(x + \sqrt{x - 1}\sqrt{x + 1})$

(area cosinus hiperboliczny) - funkcja odwrotna do cosinusa hiperbolicznego

$\operatorname{artgh}\ x = \ln\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x} = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \ln\frac{1+x}{1-x}$

(area tangens hiperboliczny) - funkcja odwrotna do tangensa hiperbolicznego

$\operatorname{arctgh}\ x = \ln\sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}} = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \ln \frac{x + 1}{x - 1}$

(area cotangens hiperboliczny) - funkcja odwrotna do cotangensa hiperbolicznego

$\operatorname{arsech}\ x = \ln\left(\sqrt{\frac{1}{x}-1}\sqrt{\frac{1}{x}+1}+\frac{1}{x}\right)$

(area secans hiperboliczny) - funkcja odwrotna do secansa hiperbolicznego

$\operatorname{arcsch}\ x = \ln\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{x}\right)$

(area cosecans hiperboliczny) - funkcja odwrotna do cosecansa hiperbolicznego

Dla argumentów i wyników funkcji będących liczbami rzeczywistymi powyższe wzory da się uprościć, np. przez $\sqrt{x - 1}\sqrt{x+1}=\sqrt{x^2-1}$.

Area sinus

Area sinus hiperboliczny

Area cosinus hiperboliczny, górna gałąź krzywej

Area tangens hiperboliczny

Area cotangens hiperboliczny

Area secans hiperboliczny

Area cosecans hiperboliczny

Dziedziną i przeciwdziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$. Funkcja w punkcie $x=0$ ma punkt przegięcia, jest rosnąca na całej dziedzinie i nie ma asymptot.

Area cosinus

Area cosinus hiperboliczny, jako funkcja odwrotna do funkcji parzystej - jest niejednoznaczny. Funkcja ma dwie gałęzie, które obie są określone tylko na przedziale $[1; +\infty)$. Ogólnie dla liczb rzeczywistych:

$\operatorname{arcosh}\ x = \ln(x\pm \sqrt{x^2-1})$

Poszczególne gałęzie są dane wzorami:

$\operatorname{arcosh}_1\ x = \ln(x+\sqrt{x^2-1})$

oraz

$\operatorname{arcosh}_2\ x = \ln(x-\sqrt{x^2-1})$

Dziedziną funkcji jest przedział $[1,\infty)\,$.

Area tangens

Dziedziną funkcji jest przedział $(-1,1)\,$, jest nieparzysta oraz rosnąca. Ma dwie asymptoty: $x=-1,\;x=1\,$.

Area cotangens

Dziedziną funkcji area cotangens jest przedział $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)\,$. Funkcja nie ma ekstremów i punktów przegięcia, ma 3 asymptoty: $y=0,\;x=-1,\;x=1\,$.

Area secans

Dziedziną funkcji jest przedział $(0;1]\,$ . Funkcja ma asymptotę o równaniu $x = 0\,$

Area cosecans

Dziedziną jest $\mathbb{R}\setminus \{0\}\,$ . Funkcja ma dwie asymptoty: $x = 0\,$ i $y = 0\,$ .

Funkcje hiperboliczne odwrotne jako całki

• $\int \frac {dx} {\sqrt{1 - x^2}} = \operatorname{arcsin}\ x = -\operatorname{arccos}\ x + \frac {\pi}{2}+C$

• $\int \frac {dx} {\sqrt{x^2 + 1}} = \operatorname{arsinh}\ x+C = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})+C$

• $\int \frac {dx} {\sqrt{x^2 - 1}} = \operatorname{arcosh}\ x+C = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})+C$

• $\int \sqrt{1 - x^2}\ dx = \frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsin}\ x + x\sqrt{1 - x^2}\right)+C$

• $\int \sqrt{x^2 + 1}\ dx = \frac{1}{2}\left(\operatorname{arsinh}\ x + x\sqrt{x^2 + 1}\right)+C$$=\frac{1}{2}\left(\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) + x\sqrt{x^2 + 1}\right)+C$

• $\int \sqrt{x^2 - 1}\ dx = \frac{1}{2}\left(- \operatorname{arcosh}\ x + x\sqrt{x^2 - 1}\right)+C$$= \frac{1}{2}\left(- \ln(x + \sqrt{x^2 - 1}) + x\sqrt{x^2 - 1}\right)+C$

• $\int \frac {dx} {1 + x^2} = \operatorname{arctg}\ x+C$

• $\int \frac {dx} {1 - x^2} = \operatorname{artgh}\ x+C = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)+C$

Związek z funkcjami cyklometrycznymi

$\operatorname{arsinh}x = i \arcsin(-ix)$

$\operatorname{arcosh}x = i \arccos x$

$\operatorname{artgh}x = i \operatorname{arctg}(-ix)$

Pochodne funkcji area

• $\frac{d}{dx}\operatorname{arsinh}\ x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
• pochodnymi gałęzi area cosinusa hiperbolicznego są:

$\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh}_1\ x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh}_2\ x=\frac{-1}{\sqrt{x^2-1}}$

• $\frac{d}{dx}\operatorname{artgh}\ x = \frac{1}{1-x^2}$
• $\frac{d}{dx}\operatorname{arctgh}\ x = \frac{-1}{x^2-1}$
• $\frac{d}{dx}\operatorname{arsech}\ x = -\frac{1}{x(x+1)\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}$
• $\frac{d}{dx}\operatorname{arcsch}\ x = -\frac{1}{x^2\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}$

Właściwości analityczne

• Area sinus hiperboliczny jest funkcją nieparzystą i rosnącą
• Funkcją odwrotną dla pierwszej gałęzi area cosinusa hiperbolicznego jest cosinus hiperboliczny dla argumentów większych od zera; dla drugiej gałęzi cosinus hiperboliczny dla argumentów mniejszych od zera