Atlas (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Atlas – w topologii, dziale matematyki, opisuje sposób w jaki rozmaitość jest wyposażona w strukturę różniczkową. Każdy jej kawałek opisany jest za pomocą mapy (również: mapy współrzędnych lub lokalnego układu współrzędnych).

Mapy i atlasy[edytuj | edytuj kod]

Przedstawienie dwóch zgodnych map na rozmaitości wraz z przekształceniem przejścia. Zbiór Uα zaznaczono na czerwono, Uβ na niebiesko, a ich część wspólną Uα, β na fioletowo; przekształcenie przejścia φα, β (strzałka po prawej) jest zdefiniowane jako złożenie φα-1 (φα to górna strzałka) oraz φβ (dolna strzałka).

Niech dana będzie rozmaitość topologiczna M. Parę (U, φ), gdzie U jest otwartym podzbiorem M natomiast

\varphi\colon U \to V

jest homeomorfizmem na pewien otwarty podzbiór V przestrzeni \mathbb R^n nazywa się mapą na M. Dla dwóch map (U_\alpha, \varphi_\alpha) i (U_\beta, \varphi_\beta) na M o tej własności, że zbiór

U_{\alpha, \beta} := U_\alpha \cap U_\beta

jest niepusty, definiuje się przekształcenie przejścia („sklejenie”)

\varphi_{\alpha, \beta}\colon \varphi_\alpha(U_{\alpha, \beta}) \to \varphi_\beta(U_{\alpha, \beta})

wzorem

\varphi_{\alpha, \beta} = \varphi_\beta \circ \varphi_\alpha^{-1}.

Przekształcenia \varphi_\alpha i \varphi_\beta są homeomorfizmami, więc ich przekształcenia przejścia są również homeomorfizmami. W ten sposób przekształcenia przejścia również są wyposażone w pewien rodzaj zgodności w tym sensie, iż przejście od układu współrzędnych zadanego jedną z map do układu współrzędnych zadanego na drugiej jest ciągłe.

Zbiór \mathcal A = \bigl\{(U_\alpha, \varphi_\alpha)\colon\, \alpha\bigr\} map na M, które stanowią pokrycie zbioru M, nazywany jest atlasem rozmaitości M.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Każdy podzbiór przestrzeni euklidesowej, na mocy twierdzenia Lindelöfa, ma atlas przeliczalny. Dwie nakładające się mapy (U_\alpha, \varphi_\alpha) oraz (U_\beta, \varphi_\beta)zgodne w sposób gładki, jeśli przekształcenie przejścia między nimi jest nieskończenie wiele razy różniczkowalne jako przekształcenie przestrzeni euklidesowej w siebie.

Atlasem gładkim na M nazywa się atlas, dla którego żąda się dodatkowo, by dla dowolnych dwóch nakładających się map na M przekształcenie przejścia między nimi było zgodne w sposób gładki.

Dwa atlasy \mathcal A oraz \mathcal B na M są zgodne w sposób gładki, jeśli wszystkie mapy z \mathcal A, które nakładają się na mapy z \mathcal B są zgodne w sposób gładki. Wówczas \mathcal A \cup \mathcal B również jest atlasem gładkim na M. Umożliwia to wprowadzenie naturalnej relacji równoważności, dzięki której można rozważać klasę równoważności atlasów zgodnych w sposób gładki, która nazywana jest atlasem maksymalnym. O rozmaitości M wraz z atlasem maksymalnym mówi się, że ma strukturę gładką. Istnieją przykłady rozmaitości topologicznych wyższych wymiarów mające wiele różnych struktur gładkich. Jednym z pierwszych przykładów było odkrycie Johna Milnora sfery egzotycznej – 7-rozmaitości homeomorficznej, lecz nie dyfeomorficznej z 7-sferą.

W ogólności działanie na atlasach maksymalnych rozmaitości jest niewygodne; do pracy wystarczy wybrać jeden atlas gładki. Atlasy maksymalne potrzebne są do jednoznacznego zdefiniowania przekształceń gładkich z jednej rozmaitości w drugą.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Wymagania co do różniczkowalności funkcji przejścia można osłabić tak, by były one różniczkowalne w sposób ciągły tylko k-krotnie; można jest także wzmocnić, aby były analityczne (w sensie rzeczywistym). Daje to odpowiednio strukturę Ck lub analityczną na rozmaitości zamiast gładkiej. Podobnie definiuje się rozmaitość zespoloną wymagając, by przekształcenia przejścia były holomorficzne.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

  • Atlas autorstwa Todda Rowlanda