Układ biortogonalny

Układ biortogonalny – dla przestrzeni unormowanej $X,$ indeksowany ciąg elementów $X\times X^{*}$ postaci $((x_{t},x_{t}^{*}))_{t\in T}$ o tej własności, że $x_{s}^{*}x_{t}=\delta _{st}$ (zob. symbol Kroneckera). Indeksowany ciąg $(x_{t})_{t\in T}$ punktów p. $X$ nazywany jest minimalnym, jeżeli istnieje ciąg $(x_{t}^{*})_{t\in T}$ punktów p. $X^{*}$ taki, że $((x_{t},x_{t}^{*}))_{t\in T}$ jest układem biortogonalnym. Przy pomocy twierdzenia Hahna-Banacha dla każdej przestrzeni unormowanej można podać przykład układu biortogonalnego. Dokładniej, ciąg $(x_{t})_{t\in T}$ jest minimalny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $t\in T{:}$

x_{t}\notin {\mbox{cl lin}}\{x_{s}\colon \,s\in T\setminus \{t\}\}.

Definicję układu biortogonalnego można mutatis mutandis rozszerzyć na klasę przestrzeni liniowo-topologicznych o nietrywialnych przestrzeniach sprzężonych.

Istnienie układów biortogonalnych[edytuj | edytuj kod]

W każdej ośrodkowej przestrzeni Banacha $X$ dla każdego $\varepsilon >0$ istnieje taki przeliczalny układ biortogonalny $((x_{n},x_{n}^{*}))_{n},$ że wektory $x_{n}$ są liniowo gęste w $X,$ jeżeli $\langle x_{n},x\rangle =0$ dla każdego $n$ to $x=0$ oraz

\|x_{n}^{*}\|\cdot \|x_{n}\|<1+\varepsilon

dla wszelkich

n

^[1].

Bazy Markuszewicza[edytuj | edytuj kod]

Niech $X$ będzie przestrzenią unormowaną. Układ biortogonalny $((x_{t},x_{t}^{*}))_{t\in T}$ nazywany jest:

fundamentalnym, jeżeli

{\mbox{cl lin}}\{x_{t}\colon \,s\in T\}=X.

totalnym, jeżeli

{\mbox{cl}}_{w^{*}}{\mbox{lin}}\{x_{t}^{*}\colon \,s\in T\}=X^{*}

(gdzie

{\mbox{cl}}_{w^{*}}

oznacza operację domknięcia w sensie *-słabej topologii),

bazą Markuszewicza (albo M-bazą) gdy jest fundamentalny i totalny,
układem Auerbacha, jeżeli $\|x_{t}\|=\|x_{t}^{*}\|=1$ dla każdego $t\in T,$
bazą Auerbacha, jeżeli jest bazą Markuszewicza i układem Auerbacha.

Nazwa pojęcia bazy Markuszewicza pochodzi od nazwiska rosyjskiego matematyka, Aleksieja Markuszewicza. Każda ośrodkowa przestrzeń Banacha ma M-bazę. Problem istnienia M-baz dla przestrzeni Banacha typu WCG jest ciągle otwarty. Prawdziwe jest natomiast następujące twierdzenie Auerbacha, że każda skończenie wymiarowa przestrzeń Banacha ma bazę Auerbacha.

Układy biortogonalne dużej mocy[edytuj | edytuj kod]

Kenneth Kunen podał jako pierwszy, pod założeniem hipotezy continuum, przykład przestrzeni Banacha, której wszystkie układy biortogonalne są przeliczalne (Kunen nie opublikował swojego wyniku – pojawił się on w monografii^[2]). Kolejny przykład, pod założeniem diamentu Jensena, podał Saharon Szelach^[3].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

↑ A. Pełczyński, All separable Banach space admit for every ε > 0 fundamental total and bounded by 1 + ε biorthogonal sequences, „Studia Mathematica” 55 (1976), s. 295–304.
↑ S. Negrepontis, Banach spaces and topology, w: K. Kunen (ed.), J.E. Vaughan (ed.), Handbook of set-theoretic topology, Elsevier Sci. (1984), s. 1045–1142.
↑ Saharon Szelach, Uncountable constructions for B.A., e.c. groups and Banach spaces, „Israel J. Math.”, 51 (1985), s. 273–297.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

J. Vanderwerff, P. Hájek, S.V. Montesinos, V. Zizler, Biorthogonal Systems in Banach Spaces, Springer-Verlag GmbH, Nowy Jork 2007, ISBN 0-387-68914-1.

[1] A. Pełczyński, All separable Banach space admit for every ε > 0 fundamental total and bounded by 1 + ε biorthogonal sequences, „Studia Mathematica” 55 (1976), s. 295–304.

[2] S. Negrepontis, Banach spaces and topology, w: K. Kunen (ed.), J.E. Vaughan (ed.), Handbook of set-theoretic topology, Elsevier Sci. (1984), s. 1045–1142.

[3] Saharon Szelach, Uncountable constructions for B.A., e.c. groups and Banach spaces, „Israel J. Math.”, 51 (1985), s. 273–297.

[1]

[2]

[3]