Baza ortonormalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Baza funkcyjna)
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Baza ortonormalna – zbiór wektorów \mathcal{E} w przestrzeni unitarnej H z iloczynem skalarnym \langle \cdot, \cdot \rangle o następujących własnościach:

Pojęcie bazy ortonormalnej rozpatruje się najczęściej w kontekście przestrzeni Hilberta.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Zbiór  \{ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) \} jest bazą ortonormalną przestrzeni euklidesowej  \mathbb{R}^3 .
  • Zbiór  \{ (1,0,0,...),(0,1,0,...),(0,0,1,...) \} jest bazą ortonormalną przestrzeni  \ell^2 wszystkich ciągów liczbowych sumowalnych z kwadratem
  • Zbiór  \{ e^{2 \pi i n } : n \in \mathbb{Z} \} jest bazą ortonormalną przestrzeni zespolonej  L^2([0,1]). Fakt ten jest podstawą teorii szeregów Fouriera.
  • Bazą ortonormalną przestrzeni  \ell^2(I) , gdzie I jest dowolnym zbiorem, jest rodzina  \{ e_i\colon\, i \in I \} , gdzie:
 e_i (j) = \begin{cases}
 1 & j = i \\
 0 & j \neq i \end{cases}.

Podstawowe wzory[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli \mathcal{E} jest bazą ortonormalną przestrzeni  H , to dowolny wektor  h tej przestrzeni daje się zapisać w postaci:

h=\sum_{e\in \mathcal{E}}\langle h,e\rangle e.

Z powyższej równości, nazywanej tożsamością Parsevala, wynika że baza ortonormalna jest bazą Schaudera.

Normę wektora  h można wyrazić za pomocą równości:

\|h\|^2=\sum_{e \in \mathcal{E}}|\langle h,e\rangle |^2.

Równości te są prawdziwe również w przypadku, gdy  \mathcal{E} jest zbiorem nieprzeliczalnym, gdyż z definicji jedynie przeliczalnie wiele składników odpowiedniej sumy jest różnych od zera.

Przestrzeń Hilberta  H z bazą  \mathcal{E} jest izometrycznie izomorficzna z opisaną wyżej przestrzenią  \ell^2 (I) , gdzie I jest dowolnym zbiorem równolicznym z \mathcal{E}

Istnienie bazy ortonormalnej[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli  \mathcal{E} jest zbiorem wektorów parami ortogonalnych w przestrzeni Hilberta  H , to domknięcie powłoki liniowej zbioru  \mathcal{E} jest podprzestrzenią liniową  H . Zbiór  \mathcal{E} jest wówczas bazą ortogonalną dla tej podprzestrzeni.

Korzystając z lematu Kuratowskiego-Zorna można uzasadnić, że każda przestrzeń Hilberta ma bazę ortogonalną, a w konsekwencji ortonormalną. Dowolne dwie bazy ortogonalne jednej przestrzeni mają równą moc. Przestrzeń Hilberta jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy ma przeliczalną bazę ortogonalną.

Ortogonalizacja[edytuj | edytuj kod]

Każdy skończony lub przeliczalny układ wektorów liniowo niezależnych można zortogonalizować – to znaczy utworzyć inny układ wektorów, będących kombinacjami liniowymi wektorów danego układu w ten sposób, by nowy układ był już układem ortogonalnym. Typową metodą jest ortogonalizacja Grama-Schmidta.