Baza otoczeń

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Baza otoczeń w punkcie i system otoczeń to terminy w topologii odnoszące się do specjalnych rodzin podzbiorów przestrzeni topologicznej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech (X,\tau) będzie przestrzenią topologiczną, a x\in X. Powiemy że rodzina {\mathcal B} otoczeń punktu x jest bazą otoczeń w punkcie x jeśli każde otoczenie x zawiera element {\mathcal B}.

Równoważnie, rodzina {\mathcal B} otoczeń punktu x jest bazą otoczeń w x jeśli

\big(\forall U\in\tau\big)\big(x\in U\ \Rightarrow\ (\exists V\in {\mathcal B})(x\in V\subseteq U)\big).

System otoczeń dla przestrzeni X to rodzina \{{\mathcal B}(x):x\in X\} taka, że {\mathcal B}(x) jest bazą otoczeń w x dla każdego x\in X.

Zauważmy, że w definicji tej nie wymaga się, by otoczenia były zbiorami otwartymi (choć będzie to zakładane w dalszym ciągu).

Dla zaznaczenia, że wszystkie elementy bazy otoczeń są zbiorami otwartymi, używa się zwrotu baza otoczeń otwartych w punkcie x i podobnie dla systemów otoczeń.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Charakteryzacja i własności[edytuj | edytuj kod]

  • Załóżmy że \{{\mathcal B}(x):x\in X\} jest systemem otoczeń otwartych w przestrzeni topologicznej X. Wówczas następujące warunki (BP1)-(BP3) są spełnione:
(BP1) Dla każdego x\in X, {\mathcal B}(x)\neq \emptyset i dla każdego U\in {\mathcal B}(x) mamy że x\in U.
(BP2) Jeśli x\in U\in {\mathcal B}(y), x,y\in X, to istnieje V\in {\mathcal B}(x) takie że V\subseteq U.
(BP3) Dla każdych U_1,U_2\in {\mathcal B}(x), x\in X, można znaleźć U\in {\mathcal B}(x) takie że U\subseteq U_1\cap U_2.
  • Przypuśćmy że X jest niepustym zbiorem i \{{\mathcal B}(x):x\in X\} jest systemem rodzin podzbiorów zbioru X spełniającym warunki (BP1)-(BP3). Niech \tau będzie rodziną wszystkich podzbiorów X które mogą być przedstawione jako sumy podrodzin rodziny \bigcup\limits_{x\in X}{\mathcal B}(x). Wówczas \tau jest topologią na X i \{{\mathcal B}(x):x\in X\} jest systemem otoczeń otwartych dla tej topologii. Często mówimy wtedy że \tau jest topologią generowaną przez \{{\mathcal B}(x):x\in X\}.

Powyższa obserwacja służy za podstawę jednej z metod definiowania topologii na danym zbiorze: przez podanie bazy otoczeń w każdym punkcie. Właśnie ta metoda jest przez nas użyta do zdefiniowania płaszczyzny Niemyckiego oraz przykładu przestrzeni T3 ale nie T3 1/2.

Funkcje kardynalne[edytuj | edytuj kod]

Z pojęciem bazy otoczeń związane są następujące funkcje kardynalne:

  • Charakter punktu x\in X w przestrzeni topologicznej X to najmniejsza możliwa moc bazy otoczeń w tym punkcie. Charakter punktu x\in X oznaczany jest przez \chi(x,X).
  • Charakter przestrzeni X jest zdefiniowany jako

\chi(X)=\sup\{\chi(x,X):x\in X\}.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]