Bordyzm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Bordyzm (W;M,N).

Bordyzm - relacja równoważności w zbiorze zwartych rozmaitości różniczkowych. Na zbiorze klas abstrakcji tej relacji można zdefiniować działania w taki sposób, aby miał on strukturę pierścienia. Badanie relacji bordyzmu jest jednym z głównych nurtów w topologii algebraicznej.

Dwie n-wymiarowe rozmaitości zwarte M,N nazywamy bordycznymi, jeśli istnieje (n + 1)-wymiarowa rozmaitość różniczkowa z brzegiem W, której brzeg jest dyfeomorficzny z sumą rozłączną M\sqcup N. Fakt ten oznaczamy to przez (W;M,N). Bordyzm jest relacją równoważności między rozmaitościami M i N[1]. Zbiór klas abstrakcji tej relacji oznaczamy \Omega_n. Zbiór \Omega_n jest grupą abelową względem dodawania zdefiniowanego następująco:

[M]+[N]:=[M\sqcup N].

gdzie [M\sqcup N] jest sumą rozłączną rozmaitości M i N[2].

W sumie prostej

\Omega_{\star} = \bigoplus_{n = 1}^{\infty} \Omega_n

możemy zdefiniować strukturę pierścienia. Dla dowolnych klas [M] \in \Omega_k, [N] \in \Omega_n definiujemy mnożenie jako iloczyn kartezjański przestrzeni topologicznych:

[M]\cdot [N]:=[M\times N],

które można rozszerzyć na cały zbiór \Omega_{\star}. Mnożenie to jest łączne i rozdzielne względem dodawania. Jednością jest klasa bordyzmów jednego punktu. Grupy \Omega_{n} określają gradację pierścienia \Omega_{\star}[3].


Przypisy

  1. Klaus Jänich: Topologia. Warszawa: PWN, 1991, s. 83.
  2. P. E. Conner, E. E. Floyd: Гладкие перодические отображения. Москва: Мир, 1969, s. 19-20. (ros.)
  3. Conner, Floyd, op. cit., s.20