Brachistochrona

Brachistochrona – krzywa, po której czas staczania się masy punktowej od punktu A do punktu B pod wpływem stałej siły (siły ciężkości) jest najkrótszy. Nazwa pochodzi od złożenia greckich słów brachistos (βραχιστoς) - "najkrótszy" i chronos (χρovoς) - "czas".

Zagadnienie brachistochrony było jednym z pierwszych, do rozwiązania którego wykorzystano rachunek wariacyjny. Postawiony w 1696 przez Jakuba Bernoulliego problem znalezienia krzywej najszybszego spadku został rozwiązany niezależnie przez Leibniza, Newtona, Jana Bernoulliego oraz de L'Hospitala. Okazało się, że brachistochroną jest fragment cykloidy.

Rozwiązanie zagadnienia [edytuj]

Załóżmy, że równanie szukanej krzywej to $y = y(x)$ . Wtedy punkty $A$ i $B$ mogą być zapisane następująco: $A = (a,y(a))$ oraz $B = (b,y(b))$ . Rodzina funkcji (funkcjonał) spełniających założenia problemu jest opisana jako:

$F(y(x)) = \int\limits_a^b \frac{ds}{v}$

gdzie $ds = \sqrt{1+y'(x)^2}dx$ to długość krzywej, zaś $v = y'(x)$ jest prędkością, którą można wyznaczyć z zasady zachowania energii:

$\frac{1}{2}mv^2 = mg(y(a)-y(x))$

stąd:

$v = \sqrt{2g(y(a)-y(x))}$

Wyrażenia na $ds$ i $v$ można teraz wstawić do wyjściowej całki:

$F(y(x)) = \int\limits_a^b \sqrt{\frac{1+y'(x)^2}{2g(y(a)-y(x))}}dx$

Nie zmniejszając ogólności rozważań można przyjąć punkt $A$ jako $A = (0,0)$ , co uprości dalsze rachunki. Załóżmy również, że oś y skierowana jest do dołu. Zatem aby rozwiązać postawione zagadnienie należy wyznaczyć ekstremum (minimum) funkcjonału:

$F(y(x)) = \int\limits_a^b \sqrt{\frac{1+y'(x)^2}{2gy(x)}}dx$

Jako że zadana całka nie zależy jawnie od zmiennej $x$ możemy zamiast równania Eulera zastosować tożsamość Beltramiego ( $f - y'\frac{\partial f}{\partial y'}=C$ ):