Brachistochrona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Brachistochrona

Brachistochronakrzywa, po której czas staczania się masy punktowej od punktu A do punktu B pod wpływem stałej siły (siły ciężkości) jest najkrótszy. Nazwa pochodzi od złożenia greckich słów brachistos (βραχιστoς) - "najkrótszy" i chronos (χρovoς) - "czas".

Zagadnienie brachistochrony było jednym z pierwszych, do rozwiązania którego wykorzystano rachunek wariacyjny. Postawiony w 1696 przez Jakuba Bernoulliego problem znalezienia krzywej najszybszego spadku został rozwiązany niezależnie przez Leibniza, Newtona, Jana Bernoulliego oraz de L'Hospitala. Okazało się, że brachistochroną jest fragment cykloidy.

Braquistócrona.gif

Rozwiązanie zagadnienia[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że równanie szukanej krzywej to y = y(x). Wtedy punkty A i B mogą być zapisane następująco: A = (a,y(a)) oraz B = (b,y(b)). Rodzina funkcji (funkcjonał) spełniających założenia problemu jest opisana jako:

F(y(x)) = \int\limits_a^b \frac{ds}{v}

gdzie ds = \sqrt{1+y'(x)^2}dx to długość krzywej, zaś v = y'(x) jest prędkością, którą można wyznaczyć z zasady zachowania energii:

\frac{1}{2}mv^2 = mg(y(a)-y(x))

stąd:

v = \sqrt{2g(y(a)-y(x))}

Wyrażenia na ds i v można teraz wstawić do wyjściowej całki:

F(y(x)) = \int\limits_a^b \sqrt{\frac{1+y'(x)^2}{2g(y(a)-y(x))}}dx

Nie zmniejszając ogólności rozważań można przyjąć punkt A jako A = (0,0), co uprości dalsze rachunki. Załóżmy również, że oś y skierowana jest do dołu. Zatem aby rozwiązać postawione zagadnienie należy wyznaczyć ekstremum (minimum) funkcjonału:

F(y(x)) = \int\limits_a^b \sqrt{\frac{1+y'(x)^2}{2gy(x)}}dx

Jako że zadana całka nie zależy jawnie od zmiennej x możemy zamiast równania Eulera zastosować tożsamość Beltramiego (f - y'\frac{\partial f}{\partial y'}=C):

\sqrt{\frac{1+y'(x)^2}{2gy(x)}} - \sqrt{\frac{2gy(x)}{1+y'(x)^2}} \frac{y'(x)^2}{2gy(x)} = C

gdzie C oznacza pewną stałą. Po uproszczeniu powyższego wyrażenia otrzymujemy:

y(x)(1+y'(x)^2) = \frac{1}{2gC^2} = k^2

Jest to równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest cykloida postaci:

x(\theta) = \frac{1}{2}k^2 (\theta - sin\theta)
y(\theta) = \frac{1}{2}k^2 (1-cos\theta)

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]