Bryła obrotowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Bryła obrotowabryła geometryczna ograniczona powierzchnią powstałą z obrotu figury płaskiej dookoła prostej (osi obrotu). Do brył obrotowych zaliczane są m.in.:

Objętość i pole powierzchni bryły obrotowej[edytuj | edytuj kod]

Objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót krzywej funkcji y=f(x) gdzie x\in\langle a,b\rangle dookoła osi x.

Figura obrotowa f(x)
V=\pi\int\limits_a^b(f(x))^2\,dx

Pole powierzchni:

S=2\pi\int\limits_a^b|f(x)|\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx

Gdy funkcja jest określona parametrycznie

x=x(t),\ y=y(t);\ t\in\langle t_1,t_2\rangle

Objętość:

V=\pi\left|\int\limits_{t_1}^{t_2}y^2(t)x'(t)\,dt\right|

Pole powierzchni:

S=2\pi\int\limits_{t_1}^{t_2}|y(t)|\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt

W wielu przypadkach obliczanie objętości bryły obrotowej lub pola jej powierzchni ułatwiają twierdzenia Pappusa.