Brzeg Szyłowa

Brzeg Szyłowa przemiennej algebry Banacha A - część wspólna wszystkich domkniętych brzegów algebry A, przy czym brzegiem przemiennej algebry Banacha A nazywa się taki podzbiór E przestrzeni Gelfanda $M_A$, że

$\sup_{\hat{f} \in \hat{A}}{\left\vert \hat{f} \right\vert} = \sup_{\hat{f} \in E}{\left\vert \hat{f} \right\vert}$,

gdzie $\hat{f}$ jest transformatą Gelfanda elementu $f \in A$. Brzeg Szyłowa algebry jest brzegiem w zdefiniowanym wyżej sensie; oznacza się go symbolem $\partial_A$.

Przykłady

• Jeżeli K jest przestrzenią zwartą, to brzegiem Szyłowa algebry Banacha C(K) jest K (utożsamione z przestrzenią Gelfanda tej algebry; por. twierdzenie Gelfanda-Najmarka).
• Brzegiem Szyłowa algebry dyskowej jest okrąg jednostkowy na płaszczyźnie zespolonej.

Własność

Jeśli $f \in A$, to $\hat f (\partial_A)$ zawiera brzeg zbioru $\hat f (M_A)$.

Bibliografia

• Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009.
• Гамелин Т. (Gamelin T.): Равномерные алгебры. Москва: Мир, 1973. (ros.)