Brzeg Szyłowa

Brzeg Szyłowa przemiennej algebry Banacha A – część wspólna wszystkich domkniętych brzegów algebry A, przy czym brzegiem przemiennej algebry Banacha A nazywa się taki podzbiór E przestrzeni Gelfanda $M_{A},$ że

$\sup _{{\hat {f}}\in {\hat {A}}}{\left\vert {\hat {f}}\right\vert }=\sup _{{\hat {f}}\in E}{\left\vert {\hat {f}}\right\vert },$

gdzie ${\hat {f}}$ jest transformatą Gelfanda elementu $f\in A$. Brzeg Szyłowa algebry jest brzegiem w zdefiniowanym wyżej sensie; oznacza się go symbolem $\partial _{A}$.

Przykłady

• Jeżeli K jest przestrzenią zwartą, to brzegiem Szyłowa algebry Banacha C(K) jest K (utożsamione z przestrzenią Gelfanda tej algebry; por. twierdzenie Gelfanda-Najmarka).
• Brzegiem Szyłowa algebry dyskowej jest okrąg jednostkowy na płaszczyźnie zespolonej.

Własność

Jeśli $f\in A,$ to ${\hat {f}}(\partial _{A})$ zawiera brzeg zbioru ${\hat {f}}(M_{A})$.

Bibliografia

• Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009.brak strony w książce
• Гамелин Т. (Gamelin T.): Равномерные алгебры. Москва: Мир, 1973. (ros.).brak strony w książce