Bukiet (topologia)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Bukietem dwóch przestrzeni topologicznych nazywamy przestrzeń topologiczną powstałą poprzez "sklejenie" tych przestrzeni w jednym punkcie. Mówiąc ściśle, jeśli X,Y są przestrzeniami topologicznymi z punktami wyróżnionymi x_0\in X, y_0\in Y, to przez ich bukiet rozumiemy przestrzeń ilorazową sumy rozłącznej X\sqcup Y tych przestrzeni poprzez najmniejszą relację równoważności utożsamiającą punkty x_0 i y_0:

X\vee Y = (X\amalg Y)\;/ \;\{x_0 \sim y_0\}.

Ogólniej, jeśli \{X_i\}_{i\in I} jest rodziną przestrzeni topologicznych z punktami wyróżnionymi \{p_i\}, to bukietem tej rodziny nazywamy przestrzeń

\bigvee_i X_i := \coprod_i X_i\;/ \;\{p_i\sim p_j \mid i,j \in I\}.

Rezultat powyższej konstrukcji zależy na ogół od wyboru punktów wyróżnionych p_i\in X_i.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Bukiet dwóch okręgów jest homeomorficzny z przestrzenią w kształcie cyfry 8.

Rozważmy najmniejszą relację równoważności \sim utożsamiającą wszystkie punkty leżące na równiku sfery n-wymiarowej S^n. Przestrzeń ilorazowa S^n\;/ \sim jest homeomorficzna z bukietem S^n \vee S^n.

Rozważmy dwie kopie I, J odcinka jednostkowego [0,1]. Niech i\in I, j\in J będą punktami wyróżnionymi. Jeśli i,j\in\{0,1\}, to bukiet I\vee J jest homeomorficzny z odcinkiem. Jeśli i\in\{0,1\} i 0<j<1 (lub 0<i<1 i j\in\{0,1\}), to bukiet I\vee J jest homeomorficzny z przestrzenią w kształcie litery T. Jeśli zaś 0<i,j<1, to I\vee J jest homeomorficzny z przestrzenią w kształcie litery X.

Opis teoriokategoryjny[edytuj | edytuj kod]

Z punktu widzenia teorii kategorii bukiet jest koproduktem w kategorii przestrzeni topologicznych z punktami wyróżnionymi. Bukiet interpretować można również jako koprodukt włóknisty (pushout) diagramu X\leftarrow \{\bullet\} \rightarrow Y w kategorii przestrzeni topologicznych (\{\bullet\} oznacza tu dowolną przestrzeń jednopunktową).

Własności[edytuj | edytuj kod]

Bukiet przestrzeni X,Y z punktami wyróżnionymi x_0,y_0 jest homeomorficzny z następującą podprzestrzenią produktu X\times Y tych przestrzeni:

(X\times \{y_0\}) \cup (\{x_0\}\times Y).

Własność ta nie przenosi się na bukiety nieskończonych rodzin przestrzeni topologicznych.

Z twierdzenia Seiferta-van Kampena wynika, że jeśli przestrzenie X,Y są odpowiednio "dobre" (np. są CW kompleksami), to grupa podstawowa bukietu tych przestrzeni jest izomorficzna z produktem wolnym grup podstawowych przestrzeni X i Y.