Bukiet (topologia)

Bukietem dwóch przestrzeni topologicznych nazywamy przestrzeń topologiczną powstałą poprzez "sklejenie" tych przestrzeni w jednym punkcie. Mówiąc ściśle, jeśli $X,Y$ są przestrzeniami topologicznymi z punktami wyróżnionymi $x_0\in X, y_0\in Y$, to przez ich bukiet rozumiemy przestrzeń ilorazową sumy rozłącznej $X\sqcup Y$ tych przestrzeni poprzez najmniejszą relację równoważności utożsamiającą punkty $x_0$ i $y_0$:

$X\vee Y = (X\amalg Y)\;/ \;\{x_0 \sim y_0\}.$

Ogólniej, jeśli $\{X_i\}_{i\in I}$ jest rodziną przestrzeni topologicznych z punktami wyróżnionymi $\{p_i\}$, to bukietem tej rodziny nazywamy przestrzeń

$\bigvee_i X_i := \coprod_i X_i\;/ \;\{p_i\sim p_j \mid i,j \in I\}.$

Rezultat powyższej konstrukcji zależy na ogół od wyboru punktów wyróżnionych $p_i\in X_i$.

Przykłady

Bukiet dwóch okręgów jest homeomorficzny z przestrzenią w kształcie cyfry 8.

Rozważmy najmniejszą relację równoważności $\sim$ utożsamiającą wszystkie punkty leżące na równiku sfery n-wymiarowej $S^n$. Przestrzeń ilorazowa $S^n\;/ \sim$ jest homeomorficzna z bukietem $S^n \vee S^n$.

Rozważmy dwie kopie $I, J$ odcinka jednostkowego $[0,1]$. Niech $i\in I, j\in J$ będą punktami wyróżnionymi. Jeśli $i,j\in\{0,1\}$, to bukiet $I\vee J$ jest homeomorficzny z odcinkiem. Jeśli $i\in\{0,1\}$ i $0<j<1$ (lub $0<i<1$ i $j\in\{0,1\}$), to bukiet $I\vee J$ jest homeomorficzny z przestrzenią w kształcie litery T. Jeśli zaś $0<i,j<1$, to $I\vee J$ jest homeomorficzny z przestrzenią w kształcie litery X.

Opis teoriokategoryjny

Z punktu widzenia teorii kategorii bukiet jest koproduktem w kategorii przestrzeni topologicznych z punktami wyróżnionymi. Bukiet interpretować można również jako koprodukt włóknisty (pushout) diagramu $X\leftarrow \{\bullet\} \rightarrow Y$ w kategorii przestrzeni topologicznych ($\{\bullet\}$ oznacza tu dowolną przestrzeń jednopunktową).

Własności

Bukiet przestrzeni $X,Y$ z punktami wyróżnionymi $x_0,y_0$ jest homeomorficzny z następującą podprzestrzenią produktu $X\times Y$ tych przestrzeni:

$(X\times \{y_0\}) \cup (\{x_0\}\times Y).$

Własność ta nie przenosi się na bukiety nieskończonych rodzin przestrzeni topologicznych.

Z twierdzenia Seiferta-van Kampena wynika, że jeśli przestrzenie $X,Y$ są odpowiednio "dobre" (np. są CW kompleksami), to grupa podstawowa bukietu tych przestrzeni jest izomorficzna z produktem wolnym grup podstawowych przestrzeni $X$ i $Y$.