Całka Bochnera

Całka Bochnera – rozszerzenie pojęcia całki oznaczonej o funkcje przybierające wartości w przestrzeni Banacha. Wprowadzona w 1933 roku przez Salomona Bochnera.

Definicja

Niech $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ będzie przestrzenią z miarą, $A\in \mathcal{A}$ oraz niech $X$ będzie przestrzenią Banacha.

• Funkcję $f\colon \Omega \to X$ nazywamy uogólnioną funkcją prostą, gdy zbiór $f(\Omega)$ jest przeliczalny oraz $f^{-1}(\{x\})\in \mathcal{A}$ dla każdego $x\in X$.
• Funkcję $f\colon A\to X$ nazywamy całkowalną w sensie Bochnera, gdy istnieje taki ciąg uogólnionych funkcji prostych $f_n\colon A\to X, \, n\in\mathbb{N}$, że

1. $\lim_{n\to\infty}f_n(\omega)=f(\omega)$ dla $\mu$-p.w. $\omega\in A$,
2. $\int\limits_A\|f_n(\omega)\|\mu(d\omega)<\infty,\, n\in \mathbb{N}$,
3. $\lim_{n\to\infty}\int\limits_A\|f_n(\omega)-f(\omega)\|\mu(d\omega)=0$.

Jeżeli $f\colon A\to X$ jest całkowalna w sensie Bochnera, to punkt

$\int\limits_A fd\mu\in X$

określony wzorem

$\int\limits_A fd\mu=\lim_{n\to \infty}\int\limits_A f_nd\mu$,

gdzie $f_n\colon A\to X,\, n\in \mathbb{N}$ jest dowolnym ciągiem uogólnionych funkcji prostych o własnościach 2. i 3., nazywamy całką Bochnera funkcji $f$ względem miary $\mu$.

Charakteryzacja klasy funkcji całkowalnych w sensie Bochnera

Niech $f\colon A\to X$. Każde z następujących zdań jest równoważne:

• $f$ jest całkowalna w sensie Bochnera.
• $f$ jest $\mu$-mierzalna i spełniony jest warunek 1.
• Istnieje ciąg $f_n\colon A\to X,\, n\in \mathbb{N}$ $\mathcal{A}$-mierzalnych uogólnionych funkcji prostych i taki podzbiór $\mathcal{A}$-mierzalny $N\subseteq A$, że $\mu(N)=0$ oraz ciąg $f_n|_{A\setminus N},n\in \mathbb{N}$ jest jednostajnie zbieżny do funkcji $f|_{A\setminus N}$ i spełnione są warunki 2. i 3.

Właściwości

Wiele właściwości całki Lebesgue występuje również dla dla całki Bochnera. Przykładem jest kryterium całkowalności w sensie Bochnera, które mówi, że jeśli $\mu$ jest miarą skończoną, to funkcja $f\colon \Omega \to X$ jest całkowalna w sensie Bochnera wtedy i tylko wtedy gdy

$\int\limits_\Omega \|f(\omega)\|\mu(d\omega) < \infty.$

Jeżeli funkcja $f\colon \Omega \to X$ jest całkowalna w sensie Bochnera, to jest całkowalna w sensie Pettisa i obie całki są równe.

Bibliografia

• Salomon Bochner. Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vectorraumes sind. „Fundamenta Mathematicae”. 20, s. 262–276, 1933. 
• Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1984. ISBN 0-387-90859-5.
• J. Diestel, J.J. Uhl: Vector measures. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1977. ISBN 978-0-8218-1515-1.
• Serge Lang: Real analysis. Addison-wesley, 1969. ISBN 0-201-04172-3. (now published by springer Verlag)
• V. I. Sobolev: Całka Bochnera (ang.). 2001.
• D. van Dulst: Vector measures (ang.). 2001.