Całka Bochnera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Całka Bochnera – rozszerzenie pojęcia całki oznaczonej o funkcje przybierające wartości w przestrzeni Banacha. Wprowadzona w 1933 roku przez Salomona Bochnera.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech (\Omega, \mathcal{A}, \mu) będzie przestrzenią z miarą, A\in \mathcal{A} oraz niech X będzie przestrzenią Banacha.

  • Funkcję f\colon \Omega \to X nazywamy uogólnioną funkcją prostą, gdy zbiór f(\Omega) jest przeliczalny oraz f^{-1}(\{x\})\in \mathcal{A} dla każdego x\in X.
  • Funkcję f\colon A\to X nazywamy całkowalną w sensie Bochnera, gdy istnieje taki ciąg uogólnionych funkcji prostych f_n\colon A\to X, \, n\in\mathbb{N}, że
  1. \lim_{n\to\infty}f_n(\omega)=f(\omega) dla \mu-p.w. \omega\in A,
  2. \int\limits_A\|f_n(\omega)\|\mu(d\omega)<\infty,\, n\in \mathbb{N},
  3. \lim_{n\to\infty}\int\limits_A\|f_n(\omega)-f(\omega)\|\mu(d\omega)=0.

Jeżeli f\colon A\to X jest całkowalna w sensie Bochnera, to punkt

\int\limits_A fd\mu\in X

określony wzorem

\int\limits_A fd\mu=\lim_{n\to \infty}\int\limits_A f_nd\mu,

gdzie f_n\colon A\to X,\, n\in \mathbb{N} jest dowolnym ciągiem uogólnionych funkcji prostych o własnościach 2. i 3., nazywamy całką Bochnera funkcji f względem miary \mu.

Charakteryzacja klasy funkcji całkowalnych w sensie Bochnera[edytuj | edytuj kod]

Niech f\colon A\to X. Każde z następujących zdań jest równoważne:

  • f jest całkowalna w sensie Bochnera.
  • f jest \mu-mierzalna i spełniony jest warunek 1.
  • Istnieje ciąg f_n\colon A\to X,\, n\in \mathbb{N} \mathcal{A}-mierzalnych uogólnionych funkcji prostych i taki podzbiór \mathcal{A}-mierzalny N\subseteq A, że \mu(N)=0 oraz ciąg f_n|_{A\setminus N},n\in \mathbb{N} jest jednostajnie zbieżny do funkcji f|_{A\setminus N} i spełnione są warunki 2. i 3.

Właściwości[edytuj | edytuj kod]

Wiele właściwości całki Lebesgue występuje również dla dla całki Bochnera. Przykładem jest kryterium całkowalności w sensie Bochnera, które mówi, że jeśli \mu jest miarą skończoną, to funkcja f\colon \Omega \to X jest całkowalna w sensie Bochnera wtedy i tylko wtedy gdy

\int\limits_\Omega \|f(\omega)\|\mu(d\omega) < \infty.

Jeżeli funkcja f\colon \Omega \to X jest całkowalna w sensie Bochnera, to jest całkowalna w sensie Pettisa i obie całki są równe.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]