Całka Daniella-Stone’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Całka Daniella-Stone'a)
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Całka Daniella-Stone’a – model konstrukcji całki zaproponowany w 1918 przez Daniella i Stone’a jako uogólnienie teorii całki Riemanna. Obecnie większą popularnością wśród matematyków cieszy się model zaproponowany przez Lebesgue’a. Względną zaletą modelu Daniella-Stone’a jest brak bezpośredniego odwołania do aparatu teorii miary.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech E będzie elementarną rodziną funkcji. Funkcjonał \mu\in E^\star nazywamy dodatnim, jeśli dla każdej E\ni f\geqslant 0 zachodzi \mu(f)\geqslant 0.

Funkcjonał liniowy, dodatni, monotonicznie ciągły, określony na pewnej elementarnej rodzinie funkcji E nazywamy całką Daniella-Stone’a. Funkcje z rodziny E nazywamy funkcjami elementarnymi tej całki.

Zamiast \mu(f) całkę Daniella-Stone’a oznaczamy także

\int fd\mu,\; \int\limits_Xf(x)d\mu(x),\; \operatorname{(D)}\int fd\mu

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Niech X będzie przedziałem liczbowym postaci [a,b]; E=C([a,b]), tzn. E jest przestrzenią funkcji ciągłych na [a,b]. W przypadku, gdy
\mu(f):=\int\limits_{[a,b]}f(x)dx,
to całka Daniella-Stone’a jest po prostu całką Riemanna.
\mu(f):=\sum_{n=1}^{\infty}f(n).
  • Niech X będzie zbiorem niepustym oraz E niech będzie rodziną wszystkich funkcji rzeczywistych na X. Ponadto niech dany będzie punkt x_0 ze zbioru X. Dla f\in E można zdefiniować \mu(f):=f(x_0); inne oznaczenie (por. delta Diraca), to
\mu(f)=\delta_{x_0}(f).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976.
  • Percy John Daniell: A general form of integral. Annals of Mathematics 19, 1918.