Całka Fresnela

Całki Fresnela

Całka Fresnela – w matematyce dwie funkcje specjalne $S(x)$ i $C(x)$, zwane odpowiednio sinusem i cosinusem Fresnela, zdefiniowane następująco:

$S(x)=\int_0^x\sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!},$

$C(x)=\int_0^x\cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}.$

Należy zauważyć, że istnieje też inna definicja, w której powyższe całki są mnożone przez czynnik $\sqrt\tfrac{\pi}{2}$.

Nazwa tych funkcji została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego fizyka i inżyniera Augustina Jeana Fresnela.

Całki te pojawiły się w związku z optycznym efektem dyfrakcji Fresnela.

Wybrane własności

Funkcje C(x) i S(x) dla x rzeczywistego są funkcjami nieparzystymi.

Związek z funkcją błędu:

$C(z)+iS(z)=\sqrt{\frac{\pi}{8}}(1+i)\,\mathrm{erf}\left(\frac{(1-i)z}{2}\right)$

Wartości graniczne dla $x$ rzeczywistego:

$\lim_{x\to\infty}C(x)=\lim_{x\to\infty}S(x)=\sqrt\frac{\pi}{8}$

$\lim_{x\to-\infty}C(x)=\lim_{x\to-\infty}S(x)=-\sqrt\frac{\pi}{8}$

Klotoida

Klotoida znana także jako spirala Cornu lub spirala Eulera, to krzywa powstająca przez narysowanie wykresu parametrycznego funkcji S(t) względem C(t). Ponieważ t jest miarą długości łukowej tejże spirali, zatem spirala ta ma nieskończoną długość. Klotoida znalazła też zastosowanie przy projektowaniu szos.

Linki zewnętrzne

• Jerzy Kosek, Obliczenia całek Fresnela przez rozkład na szereg funkcji Bessela rzędu połówkowego