Całka Fresnela

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Całki Fresnela

Całka Fresnela – w matematyce dwie funkcje specjalne S(x) i C(x), zwane odpowiednio sinusem i cosinusem Fresnela, zdefiniowane następująco:

S(x)=\int_0^x\sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!},
C(x)=\int_0^x\cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}.

Należy zauważyć, że istnieje też inna definicja, w której powyższe całki są mnożone przez czynnik \sqrt\tfrac{\pi}{2}.

Nazwa tych funkcji została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego fizyka i inżyniera Augustina Jeana Fresnela.

Całki te pojawiły się w związku z optycznym efektem dyfrakcji Fresnela.

Wybrane własności[edytuj | edytuj kod]

Funkcje C(x) i S(x) dla x rzeczywistego są funkcjami nieparzystymi.

Związek z funkcją błędu:

C(z)+iS(z)=\sqrt{\frac{\pi}{8}}(1+i)\,\mathrm{erf}\left(\frac{(1-i)z}{2}\right)

Wartości graniczne dla x rzeczywistego:

\lim_{x\to\infty}C(x)=\lim_{x\to\infty}S(x)=\sqrt\frac{\pi}{8}
\lim_{x\to-\infty}C(x)=\lim_{x\to-\infty}S(x)=-\sqrt\frac{\pi}{8}

Klotoida[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Klotoida.

Klotoida znana także jako spirala Cornu lub spirala Eulera, to krzywa powstająca przez narysowanie wykresu parametrycznego funkcji S(t) względem C(t). Ponieważ t jest miarą długości łukowej tejże spirali, zatem spirala ta ma nieskończoną długość. Klotoida znalazła też zastosowanie przy projektowaniu szos.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]