Całka Jacksona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Całka Jacksona – w teorii funkcji specjalnych, dziale matematyki, szereg wyrażający operację odwrotną do q-różniczkowania.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech f(x) będzie funkcją zmiennej rzeczywistej x. Całkę Jacksona funkcji f definiuje się jako następujące rozwinięcie szeregu:

\int f(x) \operatorname d_q x = (1-q)x \sum_{k=0}^{\infty}q^k f(q^k x).

Ogólniej, jeżeli g(x) jest inną funkcją, a \operatorname D_q g oznacza jej q-pochodną, to można formalnie zapisać

\int f(x) \operatorname D_q g \operatorname d_q x = (1-q)x \sum_{k=0}^{\infty} q^k f(q^k x) \operatorname D_q g(q^k x) = (1-q)x \sum_{k=0}^{\infty} q^k f(q^k x) \frac{g(q^{k}x) - g(q^{k+1}x)}{(1-q)q^k x}

lub

\int f(x) \operatorname d_q g(x) = \sum_{k=0}^{\infty} f(q^k x) (g(q^k x) - g(q^{k+1} x)),

co daje q-analog całki Riemanna-Stieltjesa.

Całka Jacksona jako q-pierwotna[edytuj | edytuj kod]

Tak jak zwykła pierwotna funkcji ciągłej może być wyrażona za pomocą jej całki Riemanna, tak możliwe jest wykazanie, że całka Jacksona jednoznacznie wyznacza q-pierwotną w pewnej klasie funkcji.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech 0 < q < 1. Jeżeli wyrażenie |f(x)x^\alpha| jest ograniczone na przedziale [0,A) dla pewnego 0 \leqslant \alpha < 1, to całka Jacksona funkcji f(x) zbiega do funkcji F(x) na [0,A) będącej q-pierwotną f(x). Co więcej, F(x) jest ciągła w punkcie x = 0, gdzie F(0) = 0 i jest jednoznacznie wyznaczoną pierwotną f(x) w tej klasie funkcji.[1]

Przypisy

  1. Kac-Cheung, Twierdzenie 19.1.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]