Całka Riemanna-Stieltjesa

Całka Riemanna-Stieltjesa stanowi uogólnienie całki Riemanna.

Definicja

Całkę Riemanna-Stieltjesa funkcji rzeczywistej ƒ względem funkcji g na przedziale [a,b] oznacza się symbolem

$\int_a^b f(x) \, dg(x)$

i definiuje jako granice po wszystkich podziałach

$P=\{ a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\}$

o średnicach zbiegających do zera z następujących sum całkowych

$S(P,f,g) = \sum_{i=0}^{n-1} f(c_i)(g(x_{i+1})-g(x_i)),$

gdzie $c_i\in[x_i,x_{i+1}]$.

Przez granicę sum całkowych rozumie się liczbę A (zwaną wartością całki Riemanna-Stieltjesa) taką, że dla każdego $\varepsilon>0$ istnieje liczba $\delta>0$ taka, że dla każdego podziału $P=\{ a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\}$ o średnicy $d(P)=\max\{x_{i+1}-x_i:i=0,\dots,n-1\}<\delta$ i dowolnych $c_i\in[x_i,x_{i+1}]$ zachodzi

$|S(P,f,g)-A| < \varepsilon. \,$

Całka Riemanna-Stieltjesa a całka Riemanna

Jeśli g(x)=x, to wprost z definicji widać, że całka $\int_a^b f(x) \, dg(x)$ jest całką Riemanna $\int_a^b f(x) \, dx$. Prawdziwy jest ogólniejszy fakt - jeśli g jest różniczkowalna w każdym punkcie swojej dziedziny, to

$\int_a^b f(x) \, dg(x)=\int_a^b f(x)g'(x) \, dx$.

W powyższej równości całka po prawej stronie to całka Riemanna.

Całka Riemanna-Stieltjesa a wahanie funkcji

Wprost z definicji całki Riemanna-Stieltjesa i wahania funkcji otrzymujemy następującą zależność

$\int_a^b 1\, dg(x)=V_a^b (g)$.

Zatem jeśli g nie ma wahania skończonego, to całka $\int_a^b 1\, dg(x)$ nie istnieje. Stąd w rozważaniach nad całką Riemanna-Stieltjesa z reguły zakłada się, że g ma wahanie skończone. Jeśli g(x) ma wahanie skończone, to jest różnicą h(x)-j(x)dwóch funkcji monotonicznych i wówczas

$\int_a^b f(x)\, dg(x)=\int_a^b f(x)\, dh(x)-\int_a^b f(x)\, dj(x)$.

Z tego względu często rozważa się własności całki Riemanna-Stieltjesa względem funkcji monotonicznych g, by następnie korzystając z powyższego wzoru przejść do ogólnych rozważań.