Całka powierzchniowa

Całka powierzchniowa jest to całka, w której obszarem całkowania jest płat powierzchni.

Całka nieskierowana

Inne nazwy to całka powierzchniowa funkcji skalarnej i całka powierzchniowa pierwszego rodzaju.

Definicja

Niech funkcja $f(x, y, z)$ będzie określona i ciągła na powierzchni S. Poprzez D oznaczamy rzut powierzchni S na płaszczyznę XY. Dzielimy D na podobszary $\Delta\delta_{1},\ \Delta\delta_{2},\ ...,\ \Delta\delta_{n},$ gdzie $\Delta\delta_{i} \cap \Delta\delta_{j}=\empty$ dla każdego $i\not=j.$ Poprzez $|\Delta\delta_{i}|$ oznaczamy pole $\Delta\delta_{i},$ a poprzez T oznaczamy ten konkretny podział.

Oznaczamy $\Delta S_{i}$ tę część powierzchni S, której rzutem na płaszczyznę XY jest $\Delta\delta_{i}.$ Na każdym $\Delta S_{i}$ obieramy dowolny punkt $P_i(x_i, y_i, z_i).$ Rzutem $P_i$ na XY jest $(x_{i}, y_{i})\in\Delta\delta_{i}.$

Tworzymy sumę $q(T) = \sum_{i=1}^n f(P_{i})|\Delta S_{i}|.$ Rozpatrujemy taki ciąg tych podziałów T, żeby największa ze średnic $\Delta S_{i}$ dążyła do zera. Jeżeli dla każdego takiego ciągu podziałów i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich $P_i$ ciąg sum $q(T)$ dąży do tej samej granicy, to granicę tę oznaczamy symbolem

$\iint\limits_{S}f(x, y, z)\;dS$

i nazywamy całką powierzchniową niezorientowaną.

Znak dS to różniczka pola płata.

Obliczanie

Płat dany jawnie

Jeśli płat dany równaniem $z = \varphi(x, y),$ gdzie funkcja $\varphi(x, y)$ jest klasy C¹ w D, to

$\iint\limits_{S}f(x, y, z)\;dS = \iint\limits_{D}f\big(x,\ y,\ \varphi(x, y)\big)\sqrt{1+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right)^2}\;dx\;dy.$

Płat dany parametrycznie

Niech płat dany jest równaniami $x = x(u, v),\ y = y(u, v),\ z = z(u, v)$ i ponadto zachodzą następujące warunki:

• funkcje $x(u, v),\ y(u, v),\ z(u, v)$ są klasy C¹ w D;
• D jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką;
• różnym punktom wnętrza S odpowiadają różne punkty D;
• wyrażenie $H = \begin{vmatrix} x_{u} & y_{u}\\ x_{v} & y_{v}\\ \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} y_{u} & z_{u}\\ y_{v} & z_{v}\\ \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} z_{u} & x_{u}\\ z_{v} & x_{v}\\ \end{vmatrix}^2$ jest różne od zera wewnątrz D.

Wtedy

$\iint\limits_{S}f(x, y, z)\;dS = \iint\limits_{D}f\big(x(u,v),\ y(u,v),\ z(u,v)\big)\sqrt{H}\;du\;dv.$

Uwaga. Wyrażenie H jest sumą kwadratów minorów macierzy jakobianowej $\frac{D(x,y,z)}{D(u,v)}=\begin{bmatrix} x_{u} & y_{u} & z_{u}\\ x_{v} & y_{v} & z_{v} \end{bmatrix}.$

Przykłady zastosowania

Jeżeli funkcja $f(x,y,z)$ wyraża gęstość materialnego płata S w punkcie $(x,y,z)$, to masa całego tego płata jest równa $\iint\limits_{S}f(x,y,z)dS.$

Pole powierzchni płata S jest równe $\iint\limits_{S}dS.$

Całka skierowana

Inne nazwy to całka powierzchniowa składowej normalnej wektora, strumień wektora przez powierzchnię, całka powierzchniowa drugiego rodzaju.

Definicja

Niech funkcja $\mathbf{F}(x, y, z) = \left[ X(x, y, z),\ Y(x, y, z),\ Z(x, y, z) \right]$ będzie określona i ciągła na powierzchni zorientowanej S.

Poprzez D oznaczamy rzut powierzchni S na płaszczyznę XY.

D dzielimy na podobszary $\Delta\delta_{1},\ \Delta\delta_{2},\ ...,\ \Delta\delta_{n},$ takie że $\Delta\delta_{i} \cap \Delta\delta_{j}=\empty$ dla każdego $i\not=j.$ Poprzez T oznaczamy ten konkretny podział. Przez $\Delta S_{i}$ oznaczamy tę część powierzchni S, której rzutem na płaszczyznę XY jest $\Delta\delta_{i},$ a przez $|\Delta S_{i}|$ oznaczamy pole powierzchni $\Delta S_{i}.$

Na każdym $\Delta S_{i}$ obieramy dowolny punkt P_i=(x_i, y_i, z_i). Rzutem P_i na XY jest $(x_{i}, y_{i})\in\Delta\delta_{i}.$

Tworzymy sumę $q(T) = \sum_{i=1}^n F_{N}(P_{i})|\Delta S_{i}|$, gdzie F_N jest składową wektora F normalną do $\Delta S_{i}$.

Rozpatrujemy taki ciąg tych podziałów T, żeby największa ze średnic $\Delta S_{i}$ dążyła do zera. Jeżeli dla każdego takiego ciągu podziałów i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich $P_i$ ciąg sum $q(T)$ dąży do tej samej granicy, to granicę tę oznaczamy symbolem

$\iint\limits_{S} \mathbf{F}(x, y, z) \mathbf{\;dS} = \iint\limits_{S} F_{N}(x, y, z)\;dS=$
$= \iint\limits_{S} F\cos(\mathbf{F},\mathbf{N})\;dS = \iint\limits_{S} (X\cos\alpha + Y\cos\beta + Z\cos\gamma)\;dS = \iint\limits_{S} \left(X\;dy\;dz + Y\;dz\;dx + Z\;dx\;dy\right)$

i nazywamy całką powierzchniową zorientowaną.

Znak dS = [dydz, dzdx, dxdy] = [cos α, cos β, cos γ]dS to wektorowa różniczka płata.

Obliczanie

Płat dany jawnie

Niech płat jest zadany równaniem $z = \varphi(x, y),$ gdzie funkcja $\varphi$ jest klasy C¹ w D. I niech N=[-φ_x, -φ_y, 1] jest wektorem normalnym do S skierowanym zgodnie z osią OZ. Wtedy

$\iint\limits_{S}\mathbf{F}(x, y, z) \mathbf{\;dS} = \varepsilon\iint\limits_{D}\mathbf{F}(x,\ y,\ \varphi(x, y)) \mathbf{N} \;dx\;dy =$

$= \varepsilon\iint\limits_{D}\Big(- X\left(x,\ y,\ \varphi(x, y)\right)\varphi_{x} - Y\left(x,\ y,\ \varphi(x, y)\right)\varphi_{Y} + Z(x,\ y,\ \varphi(x, y))\Big)\;dx\;dy,$

gdzie $\varepsilon = +1,$ jeśli płat S jest zorientowany zgodnie z osią OZ, i $\varepsilon = -1,$ jeśli jest zorientowany przeciwnie.

Płat dany parametrycznie

Niech płat dany jest równaniami $x = x(u, v),\ y = y(u, v), \ z = z(u, v),$ gdzie wszystkie te funkcje są klasy C¹ w D. I niech ponadto zachodzą następujące warunki:

• D jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką;
• różnym punktom wnętrza S odpowiadają różne punkty D;
• wyrażenie $H = |\mathbf{h}|^{2} = \begin{vmatrix} x_{u} & y_{u}\\ x_{v} & y_{v}\\ \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} y_{u} & z_{u}\\ y_{v} & z_{v}\\ \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} z_{u} & x_{u}\\ z_{v} & x_{v}\\ \end{vmatrix}^2$ jest różne od zera wewnątrz D (jest to suma kwadratów minorów macierzy jakobianowej $\frac{D(x,y,z)}{D(u,v)}=\begin{bmatrix} x_{u} & y_{u} & z_{u}\\ x_{v} & y_{v} & z_{v} \end{bmatrix}$).

Wtedy:

$\iint\limits_{S} \mathbf{F}(x, y, z) \mathbf{\;dS} = \varepsilon\iint\limits_{D} \mathbf{F}(x, y, z) \cdot \mathbf{h}\;du\;dv,$

gdzie

$\mathbf{h} = [x_u, y_u, z_u] \times [x_v, y_v, z_v] = \bigg[\begin{vmatrix} x_{u} & y_{u}\\ x_{v} & y_{v}\\ \end{vmatrix},\ \begin{vmatrix} y_{u} & z_{u}\\ y_{v} & z_{v}\\ \end{vmatrix},\ \begin{vmatrix} z_{u} & x_{u}\\ z_{v} & x_{v}\\ \end{vmatrix}\bigg].$

Z własności iloczynu mieszanego mamy więc:

$\varepsilon\iint\limits_{D} \mathbf{F}(x, y, z) \cdot \mathbf{h}\;du\;dv = \varepsilon\iint\limits_{D} \begin{vmatrix} X & Y & Z\\ x_{u} & y_{u} & z_{u}\\ x_{v} & y_{v} & z_{v}\\ \end{vmatrix}\;du\;dv.$

Tu $\varepsilon=+1$, gdy płat S jest zorientowany zgodnie z wektorem h; $\varepsilon=-1$, gdy jest zorientowany przeciwnie.

Dane 3 rzuty

Jeśli płat S można opisać wzorami $x = x(y, z),\ y = y(z, x),\ z = z(x, y),$ gdzie wszystkie te funkcje są określone w zbiorach S_yz, S_zx, S_xy, będących rzutami S odpowiednio na OYZ, OZX, OXY, to

$\iint\limits_{S}\mathbf{F}(x, y, z) \mathbf{\;dS} = \iint\limits_{S} \left(X\;dy\;dz + Y\;dz\;dx + Z\;dx\;dy\right) =$

$= \varepsilon_x\iint\limits_{S_{yz}} X(x(y, z),\ y,\ z)\;dy\;dz \;+\; \varepsilon_y\iint\limits_{S_{zx}} Y(x,\ y(z, x),\ z)\;dx\;dz \;+\; \varepsilon_z\iint\limits_{S_{xy}} Z(x,\ y,\ z(x, y))\;dx\;dy.$

ε_x=+1, ε_y=+1, ε_z=+1 gdy płat S jest zorientowany zgodnie z odpowiednią osią, a -1 gdy jest zorientowany przeciwnie. ε_x*ε_z=+1 ⇔ z_x<0 itd.

• Jeżeli jeden lub dwa rzuty płata S mają pole równe zero, to we wzorze pozostają tylko dwie lub jedna całka podwójna.
• Wzór pozostaje słuszny, jeżeli tylko wewnętrznym punktom płata można przyporządkować punkty rzutów.
• Aby zastosować tę metodę do innych płatów, należy je podzielić na skończona liczbę płatów spełniających założenia.

Przykłady

Całka powierzchniowa zorientowana występuje na przykład w prawie Gaussa (dla elektryczności, a także magnetyzmu i grawitacji) i prawie Ampère'a.

Zobacz też

• twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa
• twierdzenie Stokesa