Całka wielokrotna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Całka wielokrotna stopnia n, to całka po n zmiennych z funkcji n zmiennych:

 \iiint\limits_\Omega \cdots \int f(x_1,x_2,x_3,\cdots x_n ) \;dx_1 \;dx_2 \;dx_3 \cdots  \;dx_n.

Szczególne przypadki całki wielokrotnej, to:

 \iint\limits_D f(x,y) \;dx \;dy;
  • całka potrójna
 \iiint\limits_V f(x,y,z) \;dx \;dy \;dz.

Całka potrójna[edytuj | edytuj kod]

Całka ta ma interpretację masy zawartej w bryle o gęstości \rho = f(x,y,z).

Zamiana na całkę iterowaną[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli V jest odpowiednim obszarem normalnym V=\{a\leqslant x \leqslant b;\ g(x)\leqslant y\leqslant h(x);\ p(x,y)\leqslant z\leqslant q(x,y)\}, to

 \iiint\limits_V f(x,y,z) \;dx \;dy \;dz = \int\limits_a^b \bigg( \int\limits_{g(x)}^{h(x)} \bigg( \int\limits_{p(x,y)}^{q(x,y)} f(x,y,z) \;dz\bigg) \;dy\bigg) \;dx \; \overset{\underset{\mathrm{ozn}}{}}{=} \int\limits_a^b dx \int\limits_{g(x)}^{h(x)} dy \int\limits_{p(x,y)}^{q(x,y)} f(x,y,z) \;dz.

Jeżeli V=\{(x,y) \in D;\ p(x,y)\leqslant z\leqslant q(x,y)\}, to

 \iiint\limits_V f(x,y,z) \;dx \;dy \;dz = \iint\limits_D \bigg( \int\limits_{p(x,y)}^{q(x,y)} f(x,y,z) \;dz\bigg) \;dx \;dy.

Analogicznie zamianiamy na całkę iterowaną inne całki po obszarze normalnym. Taka zamiana jest szczególnie prosta w przypadku całkowania po prostopadłościanie. Jeżeli obszar V nie jest obszarem normalnym, dzielimy go na obszary normalne.

Zamiana zmiennych[edytuj | edytuj kod]

Niech obszar regularny domknięty D jest obrazem obszaru regularnego domkniętego Ω w przekształceniu

\Phi=\{x=x(u,v,w),\ y=y(u,v,w),\ z=z(u,v,w)\},
które jest klasy C1 w pewnym obszarze zawierającym obszar Ω oraz
którego jakobian J=\frac{D(x,y,z)}{D(u,v,w)}=\begin{vmatrix}
x_{u} & x_{v} & x_{w}\\
y_{u} & y_{v} & y_{w}\\
z_{u} & z_{v} & z_{w}
\end{vmatrix} jest różny od zera wewnątrz Ω.

Ponadto niech f jest dowolną funkcją ciągłą w D. Wtedy

 \iint\limits_D f(x,y,z) \;dx \;dy \;dz = \iint\limits_\Omega f(x(u,v,w),\ y(u,v,w),\ z(u,v,w)) |J| \;du \;dv \;dw.

Uwaga. |J| oznacza wartość bezwzgledną jakobianu, zaś x_{u}=\frac{\partial x}{\partial u} oznacza pochodną cząstkową i analogiczne znaczenia mają wszystkie inne litery ze wskaźnikami dolnymi.