Całki eliptyczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Całkami eliptycznymi nazywamy ważną klasę całek postaci


\int R(x,\sqrt{W(x)})dx,
(1)

gdzie \; R(x,y) \; jest funkcją wymierną zmiennych x i y, a \; W(x) \; jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych stopnia 3 lub 4. Całki tego rodzaju, w których za zmienną y podstawimy dowolną funkcję algebraiczną zmiennej x, taką że

\;
P(x,y)=0,
\;

gdzie \; P(x,y) \; jest wielomianem względem zmiennych x i y nazywa się czasem całkami Abela. Całki eliptyczne są więc podklasą całek Abela.

Z całkami eliptycznymi po raz pierwszy zetknięto się podczas obliczania obwodu elipsy, stąd też wzięły swoją nazwę. Nazwa ich nie jest jednak jednoznaczna, ponieważ w ścisłym znaczeniu dotyczy tylko tych całek postaci (1), które nie dają się wyrazić za pomocą funkcji elementarnych. Te z nich, które sprowadzają się do postaci skończonej, nazywa się całkami pseudoeliptycznymi.

Funkcjami odwrotnymi do całek eliptycznych są funkcje eliptyczne. Na przykład funkcja eliptyczna funkcja eliptyczna Weierstrassa \; \wp(z, g_2, g_3) \; zmiennej zespolonej \; z \; o parametrach \; g_2, g_3 \; jest funkcją odwrotną do funkcji wyrażonej przez całkę

\;
z(w)=\int\limits_{w}^{\infty} \frac{dt}{\sqrt{4t^3 - g_2 t - g_3}},
\;

tzn.

\; w \, = \, \wp(z, g_2, g_3) \; ,

o ile \; z=z(w) \;.

Choć całki postaci (1) nie wyrażają się zwykle przez funkcje elementarne, to każdą z nich można za pomocą podstawień doprowadzić do jednej z następujących trzech całek


\int\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}\ \ (0<k<1),

\int\frac{(1-k^2 t^2) dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}\ \ (0<k<1),

\int\frac{dt}{(1+ht^2)\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}\ \ (0<k<1),

gdzie h jest parametrem zespolonym. Całek tych, jak pokazał Liouville, nie da już wyrazić się za pomocą funkcji elementarnych.

Legendre zastosował podstawienie t=sinφ, dzięki czemu całki te uprościły swoją postać do całek


\int\frac{d\phi}{\sqrt{(1-k^2 \sin^2 \phi)}}\ \ (0<k<1),

\int\sqrt{(1-k^2 \sin^2 \phi)} \; d\phi\ \ (0<k<1),

\int\frac{d\phi}{(1+h \sin^2 \phi) \sqrt{(1-k^2 \sin^2 \phi )}}\ \ (0<k<1),

które nazywamy odpowiednio całką eliptyczną pierwszego, drugiego i trzeciego rodzaju w postaci Legendre'a. Szczególnie ważne i często używane są pierwsze dwie z nich, które traktowane jako całki oznaczone w granicach od 0 do ψ oznaczamy za Legendre'm odpowiednio F(k,ψ) i E(k,ψ).


F(k, \psi) = \int\limits_0^\psi \frac{d\phi}{\sqrt{(1-k^2 \sin^2 \phi)}}\ \ (0<k<1),

E(k, \psi) = \int\limits_0^\psi  \sqrt{(1-k^2 \sin^2 \phi)} \; d\phi\ \ (0<k<1),

Parametr k występujący w funkcjach F i E nazywamy modułem.

Całki eliptyczne F i E nazywamy też całkami eliptycznymi niezupełnymi dla odróżnienia od całek eliptycznych zupełnych danych wzorami


K(k) = F \left( k, \frac{\pi}{2} \right) = \int\limits_0^{\pi/2} \frac{d\phi}{\sqrt{(1-k^2 \sin^2 \phi)}}\ \ (0<k<1) \, ,

E(k) = E \left( k, \frac{\pi}{2} \right) = \int\limits_0^{\pi/2}  \sqrt{(1-k^2 \sin^2 \phi)} \; d\phi\ \ (0<k<1) \, .

Wartości całek eliptycznych zupełnych K i E są stabelaryzowane i można je znaleźć w tablicach matematycznych.

Praktyczną korzyścią z tabelaryzacji całek eliptycznych jest możliwość policzenia przybliżonego obwodu elipsy. Na przykład dla a=2 i b=1 mamy mimośród e=0,866. Obwód wtedy jest równy 4aE(e2) czyli w przybliżeniu dla powyższych wartości 9,68.

Funkcjami odwrotnymi do całek eliptycznych są funkcje amplitudy.