Całkowanie przez części

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Całkowanie przez części to jedna z metod obliczania zamkniętych form całek postaci:

\int f(x) g(x) \mathrm{d}x\;

Jeśli potrafimy znaleźć takie h(x) \,, że h^\prime (x) = f(x) \,, to możemy przekształcić tę całkę do postaci:

\int f(x) g(x) \mathrm{d}x = \int h^\prime (x) g(x) \mathrm{d}x = h(x) g(x) - \int h(x) g^\prime (x) \mathrm{d}x\;

W przypadku całek oznaczonych granice całkowania uwzględnia się także w części równania zostającej poza całką:

\int\limits_a^b h'(x) g(x) \mathrm{d}x = \Big[h(x) g(x)\Big]_a^b - \int\limits_a^b h(x) g^\prime (x) \mathrm{d}x

Metoda całkowania przez części wynika ze wzoru na pochodną iloczynu:

 \Big(h(x)g(x)\Big)^\prime = h(x)g^\prime (x) + h^\prime (x)g(x)
 h^\prime (x)g(x) = \Big(h(x)g(x)\Big)^\prime -  h(x)g^\prime (x)
 \int h^\prime (x)g(x) \mathrm{d}x = h(x)g(x) - \int h(x)g^\prime (x) \mathrm{d}x

Przykład zastosowania metody całkowania przez części:

\int x \sin x \mathrm{d}x = - x \cos x - \int x^\prime (- \cos x) \mathrm{d}x = \int \cos (x) \mathrm{d}x - x \cos x = \sin x - x \cos x + C

Całki pętlące się (zwrotne)[edytuj | edytuj kod]

W przypadku całki z iloczynu funkcji, których kolejne pochodne powtarzają się okresowo, mamy do czynienia z tzw. całką pętlącą się (zwrotną), np.:

\int e^x \cos x \mathrm{d}x = e^x \cos x + \int e^x \sin x \mathrm{d}x = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \mathrm{d}x

Całka w wyrażeniu po prawej stronie równa się całce po lewej stronie, więc

2 \int e^x \cos x \mathrm{d}x = e^x (\cos x+\sin x) + C
\int e^x \cos x \mathrm{d}x = {1 \over 2}e^x (\cos x+\sin x) + C

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]