Całkowanie przez części

Całkowanie przez części to jedna z metod obliczania zamkniętych form całek postaci:

$\int f(x) g(x) \mathrm{d}x\;$

Jeśli potrafimy znaleźć takie $h(x) \,$, że $h^\prime (x) = f(x) \,$, to możemy przekształcić tę całkę do postaci:

$\int f(x) g(x) \mathrm{d}x = \int h^\prime (x) g(x) \mathrm{d}x = h(x) g(x) - \int h(x) g^\prime (x) \mathrm{d}x\;$

W przypadku całek oznaczonych granice całkowania uwzględnia się także w części równania zostającej poza całką:

$\int\limits_a^b h'(x) g(x) \mathrm{d}x = \Big[h(x) g(x)\Big]_a^b - \int\limits_a^b h(x) g^\prime (x) \mathrm{d}x$

Metoda całkowania przez części wynika ze wzoru na pochodną iloczynu:

$\Big(h(x)g(x)\Big)^\prime = h(x)g^\prime (x) + h^\prime (x)g(x)$

$h^\prime (x)g(x) = \Big(h(x)g(x)\Big)^\prime - h(x)g^\prime (x)$

$\int h^\prime (x)g(x) \mathrm{d}x = h(x)g(x) - \int h(x)g^\prime (x) \mathrm{d}x$

Przykład zastosowania metody całkowania przez części:

$\int x \sin x \mathrm{d}x = - x \cos x - \int x^\prime (- \cos x) \mathrm{d}x = \int \cos x \mathrm{d}x - x \cos x = \sin x - x \cos x + C$

Całki pętlące się (zwrotne)

W przypadku całki z iloczynu funkcji, których kolejne pochodne powtarzają się okresowo, mamy do czynienia z tzw. całką pętlącą się (zwrotną), np.:

$\int e^x \cos x \mathrm{d}x = e^x \cos x + \int e^x \sin x \mathrm{d}x = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \mathrm{d}x$

Całka w wyrażeniu po prawej stronie równa się całce po lewej stronie, więc

$2 \int e^x \cos x \mathrm{d}x = e^x (\cos x+\sin x) + C$

$\int e^x \cos x \mathrm{d}x = {1 \over 2}e^x (\cos x+\sin x) + C$

Zobacz też

• całkowanie przez podstawienie