Całkowanie przez podstawienie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Całkowanie przez podstawienie – jedna z metod obliczania zamkniętych form całek.

Opis metody[edytuj | edytuj kod]

Jeśli:

to funkcja f jest całkowalna w D oraz:

\int f(x) dx = \int g(\psi(x)) \cdot \psi'(x) dx = G(\psi(x)) + C

Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci:

\int f(g(x)) g^{\prime}(x) dx,

to można zmienić podstawę całkowania na g(x):

\int f(g(x)) dg(x).

W przypadku obliczania całek oznaczonych poprzez podstawienie zmianie ulegają granice całkowania. W takim przypadku twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wygląda następująco:

Założenia:

  • Funkcja f jest całkowalna w swej dziedzinie.
  • Funkcja g określona na przedziale [a; b] jest różniczkowalna w sposób ciągły.
  • g'(x) \ne 0 dla każdego x z przedziału (a; b).
  • Obraz funkcji g zawiera się w dziedzinie funkcji f.

Wówczas:

\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(x)dx = \int\limits_{a}^{b}f(g(t)) \cdot g'(t)dt

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Obliczając całkę \int \tfrac{\ln x}{x} dx, zastosować można podstawienie \ln x = t, tzn.\tfrac{dx}{x} = dt, więc:
\int \frac{\ln x}{x} dx = \int t \cdot dt = {1 \over 2} t^2 + C = {1 \over 2} \ln^2 x + C.
  • Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej:
\int \sin (2x + 3) \cdot dx = \frac{1}{2} \int \sin (2x + 3) \cdot 2 dx = \frac{1}{2} \int \sin (2x + 3) \cdot d(2x + 3) = - \frac{1}{2} \cos (2x + 3) + C.

Przydatne podstawienia[edytuj | edytuj kod]

Całkowanie funkcji trygonometrycznych[edytuj | edytuj kod]

Całkując funkcje wymierne funkcji trygonometrycznych (czyli funkcje postaci R(\sin x, \cos x) ) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń:

  • W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne t = \operatorname{tg}{x \over 2}. Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane.
  • Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na sinus (R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)), stosuje się podstawienie t = \cos x
  • Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na cosinus (R(\sin x, -\cos x) = -R(\sin x, \cos x)), stosuje się podstawienie t = \sin x
  • Jeśli funkcja jest parzysta ze względu na sinus i cosinus równocześnie (R(-\sin x, -\cos x) = R(\sin x, \cos x)), stosuje się podstawienie t = \operatorname{tg}x

Za pomocą jedynki trygonometrycznej oraz innych tożsamości trygonometrycznych można wyprowadzić czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego:

t = \operatorname{tg}{x \over 2}
{x \over 2}=\operatorname{arctg}t
dx = {2 \over 1+t^2}dt

zachodzi:

\sin x = \frac{2 \sin {x \over 2} \cos {x \over 2}}{\sin^2 {x \over 2} + \cos^2 {x \over 2}} = \frac{2 \frac{\sin {x \over 2}}{\cos {x \over 2}}}{\frac {\sin^2 {x \over 2}}{\cos^2 {x \over 2}}+1} = \frac{2t}{t^2+1}
\cos x = \frac{\cos^2 {x \over 2} - \sin^2 {x \over 2}}{\cos^2 {x \over 2} + \sin^2 {x \over 2}} = \frac{1-\frac{\sin^2 {x \over 2}}{\cos^2 {x \over 2}}}{1+\frac{\sin^2 {x \over 2}}{\cos^2 {x \over 2}}} = \frac{1-t^2}{1+t^2}

W przypadku podstawienia t = \operatorname{tg}x mamy dla funkcji postaci R(\sin ^2 x, \cos ^2 x, \sin x \cos x): x = \operatorname{arctg}t, dx=\frac{dt}{1+t^2}

\sin ^2 x = \frac{\sin ^2 x}{\sin ^2 x + \cos ^2 x} \cdot \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x}= \frac{t^2}{t^2 + 1}
\cos ^2 x = \frac{\cos ^2 x}{\sin ^2 x + \cos ^2 x} \cdot \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x} = \frac{1}{t^2 + 1}
\sin x \cos x= \frac{\sin x \cos x}{\sin ^2 x + \cos ^2 x} \cdot \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x} = \frac{t}{t^2 + 1}

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego:

\int \frac{dx}{1+\sin x+\cos x} = \int \frac{\frac{2}{1+t^2}dt}{1+\frac{2t}{t^2+1}+\frac{1-t^2}{1+t^2}} = \int \frac{2dt}{1+t^2+2t+1-t^2} =
 = \int \frac{dt}{t+1} = \ln |t+1|+C = \ln |\operatorname{tg}{x \over 2} + 1|+C

Podstawienia Eulera[edytuj | edytuj kod]

Podstawienia Eulera stosujemy przy obliczaniu całek funkcji postaci R(\sqrt{ax^2+bx+c}, x), gdzie R jest funkcją wymierną.

I podstawienie Eulera[edytuj | edytuj kod]

I podstawienie stosować można, gdy a>0. Przyjmujemy wtedy: \sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}\;x. Wobec tego otrzymujemy:

ax^2+bx+c=ax^2-2\sqrt{a}\;x\;t+t^2 \implies x(b+2\sqrt{a}\;t)=t^2-c \implies x=\frac{t^2-c}{b+2\sqrt{a}\;t},
dx=\frac{2t(b+2\sqrt{a}\;t)-2\sqrt{a}\;(t^2-c)}{(b+2\sqrt{a}\;t)^2}dt.

Zgodnie z przyjętym podstawieniem, mamy: \sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}\;\frac{c-t^2}{b+2\sqrt{a}\;t}+t.

II podstawienie Eulera[edytuj | edytuj kod]

II podstawienie stosować można, gdy c>0. Przyjmujemy wówczas: \sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}. Mamy zatem:

ax^2+bx+c=x^2t^2+2\sqrt{c}xt+c \implies ax+b=xt^2+2\sqrt{c}t \implies x(a-t^2)=2\sqrt{c}t-b \implies x=\frac{2\sqrt{c}t-b}{a-t^2},

dx=\frac{2\sqrt{c}(a-t^2)+2t(2\sqrt{c}t-b)}{(a-t^2)^2}dt.

Zgodnie z przyjętym podstawieniem, otrzymujemy: \sqrt{ax^2+bx+c}=\frac{2\sqrt{c}t^2-bt}{a-t^2}+\sqrt{c}.

Jeżeli drugie podstawienie Eulera zapiszemy następująco \sqrt{ax^2+bx+c}=(x-\alpha)t-\sqrt{\lambda} to gdy  (a>0) \vee (b^2-4ac>0) to da się tak dobrać \alpha aby \lambda>0

III podstawienie Eulera[edytuj | edytuj kod]

III podstawienie stosować można, gdy istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste x0, x1 trójmianu ax^2+bx+c. Przyjmujemy wtedy: \sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a(x-x_0)(x-x_1)}=t(x-x_1). Stąd:

(x-x_1)t^2=a(x-x_0) \implies x(t^2-a)=t^2x_1-ax_0 \implies x=\frac{t^2x_1-ax_0}{t^2-a},
dx=\frac{2ta(x_0-x_1)}{(t^2-a)^2}dt.

Zgodnie z przyjętym podstawieniem, mamy: \sqrt{ax^2+bx+c}=t\left( \frac{t^2x_1-ax_0}{t^2-a}-x_1\right)

Całkowanie różniczek dwumiennych[edytuj | edytuj kod]

Różniczka dwumienna jest to wyrażenie postaci: x^m(a+bx^n)^pdx, gdzie a i b są niezerowymi liczbami rzeczywistymi oraz m, n i p są pewnymi liczbami wymiernymi. Niech ponadto p = \frac{q}{r}, gdzie q, r są liczbami całkowitymi. Twierdzenie Czebyszewa mówi, iż całkę

\int x^m(a+bx^n)^p~dx

można wyrazić za pomocą skończonej liczby funkcji elementarnych jedynie w trzech przypadkach:

  • gdy p jest liczbą całkowitą; przypadek nie wymaga podstawień.
  • gdy \frac{m+1}{n} jest liczbą całkowitą; stosuje się wtedy podstawienie t=\sqrt[r]{a+bx^n}.
  • gdy \frac{m+1}{n}+p jest liczbą całkowitą; stosuje się podstawienie t=\sqrt[r]{\frac{a+bx^n}{x^n}}.

Podstawienia trygonometryczne[edytuj | edytuj kod]

Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień:

  • \int R(x,\sqrt{x^2+a^2})dx - podstawiamy x = a \operatorname{sinh} t lub x = a \operatorname{tan} t
  • \int R(x,\sqrt{x^2-a^2})dx - podstawiamy x = a \operatorname{cosh} t lub x = a \operatorname{sec} t
  • \int R(x,\sqrt{a^2-x^2})dx - podstawiamy \ x = a \tanh t lub \ x = a \sin t

Inne podstawienia[edytuj | edytuj kod]

  • Całki typu \int R(e^x)dx obliczamy przez podstawienie \ e^x = t. Stąd: \ x = \ln{t}, \quad dx = \frac{dt}{t}.
  • Całki typu \int R\left(x, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_1}, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_2}, \cdots, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_n}\right)dx, gdzie p1, p2, ..., pn są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając \frac{ax+b}{cx+d} = t^k, gdzie k jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb p1, p2, ..., pn.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]