Cegiełka Eulera

Cegiełka Eulera

Cegiełka Eulera – prostopadłościan, w którym zarówno długości krawędzi, jak i przekątnych ścian są liczbami naturalnymi. Wymiary cegiełki Eulera można zatem otrzymać rozwiązując układ równań diofantycznych

$a^{2}+b^{2}=d^{2}$

$a^{2}+c^{2}=e^{2}$

$b^{2}+c^{2}=f^{2}$

$a>b>c$

Euler podał dwa rozwiązania parametryczne powyższego układu, ale nie obejmują one wszystkich możliwych rozwiązań.

Najmniejsza z cegiełek Eulera ma wymiary krawędzi 240 – 117 – 44 oraz przekątne ścian 267 – 125 – 244 i została odkryta w 1719 roku przez Paula Halckego.

Niektóre z cegiełek Eulera posortowane według najdłuższej krawędzi

• (240, 117, 44)
• (275, 252, 240)
• (550, 504, 480)
• (693, 480, 140)
• (720, 132, 85)
• (792, 231, 160)
• (825, 756, 720)
• (960, 468, 176)
• (1155, 1100, 1008)
• (1200, 585, 220)
• (1386, 960, 280)
• (1584, 1020, 187)
• (2340, 880, 429)
• (2640, 855, 832)
• (2992, 2475, 780)
• (3120, 2035, 828)
• (3168, 924, 640)
• (5984, 2295, 1560)
• (6325, 5796, 528)
• (6336, 748, 195)
• (6688, 6300, 1155)
• (6732, 4576, 1755)
• (8160, 4888, 495)
• (9120, 1672, 1575)
• (9405, 9152, 2964)

Do tej pory nie udało się znaleźć tzw. doskonałej cegiełki Eulera, w której także długość głównej przekątnej jest liczbą naturalną. Nie wiadomo też, czy takie cegiełki istnieją. Znane są jedynie własności, jakie musi ona posiadać:

• jedna krawędź musi mieć długość podzielną przez 4, a inna przez 16,
• jedna krawędź musi mieć długość podzielną przez 3, a inna przez 9,
• jedna krawędź musi mieć długość podzielną przez 5,
• jedna krawędź musi mieć długość podzielną przez 11.