Centralizator i normalizator

Centralizator (centrum), normalizator – w teorii grup specjalne podgrupy danej grupy mające szerokie zastosowaniu w jej badaniu.

Centralizator

Niech $x \in G$. Centralizatorem elementu $x$ nazywamy podgrupę

$C_G(x)=\{g \in G: gx = xg\}$.

Centralizator elementu zawiera więc wszystkie elementy przemienne z danym.

Powyższą konstrukcję można uogólnić do dowolnego podzbioru $G$, niekoniecznie będącego podgrupą.

Centralizatorem zbioru $H \subset G$ nazywamy grupę

$C(H) = \{g \in G: \forall_{h \in H}\; gh = hg\}$.

Grupa ta jest przemienna z każdym z elementów zbioru $H$.

Centrum

Centrum grupy – szczególny przypadek centralizatora:

$Z(G) = C_G(G)$.

Centrum jest więc podgrupą elementów, które są przemienne z każdym elementem grupy $G$, mamy zatem $Z(G) = \{x \in G: \forall_{g\in G} xg=gx \quad\}$.

O centralizatorze elementu $x$ można myśleć jako o największej (w sensie inkluzji) podgrupie $H \le G$ zawierającej $x$ w swoim centrum $Z(H)$.

Indeks grupy względem centrum $(G:Z(G))$ można interpretować jako wskaźnik abelowości grupy – im mniejsza to liczba, tym więcej elemenetów w grupie jest ze sobą przemiennych i odwrotnie.

W ten sam sposób definiujemy centrum pierścienia, $Z(R)$.

Twierdzenie Schura

Jeśli $(G:Z(G))<\infty$, to $|[G,G]|<\infty$.

Dowód twierdzenia Schura Czytelnik znajdzie w.

Normalizator

Dopełnieniem konceptu centralizatora jest tzw. normalizator zbioru $H \subset G$.

Normalizatorem $H$ w $G$ jest podgrupa

$N_G(H) = \{g \in G : gH = Hg\} \le G$.

Normalizator swoją nazwę zawdzięcza faktowi, że jeśli $H \le G$, to $N_G(H)$ jest największą podgrupą $G$ mającą $H$ jako swoją podgrupę normalną.

Działanie grupy na zbiorze

Niech $H \le G$ będzie dowolną podgrupą. Rozpatrzmy działanie grupy $\varphi: G \to \Sigma_{G/H}$ grupy $G$ na zbiorze warstw $G/H$ zadane wzorem $\varphi_g(aH) = gaH$. Wówczas $\ker \varphi = \bigcap_{g \in G}\; gHg^{-1} \le H$ jest podgrupą normalną $G$. Jest to największa ze względu na zawieranie podgrupa normalna zawarta w $H$.

Jeśli $H \triangleleft G$, to $H = \ker \varphi$

Oznaczenia

W oznaczeniach centralizatora i normalizatora, o ile nie prowadzi to do nieporozumień, można pominąć indeks oznaczający grupę względem której rozpatruje się centralizator lub normalizator danego elementu, czy zbioru. W grupie $G$ mamy więc $C(H) \equiv C_G(H)$ oraz $N(H) \equiv N_G(H)$ dla dowolnego zbioru $H \subset G$.

Własności

Niech $G, G_1, G_2$ będą grupami, $H \subset G$:

• Niech $a,\, b \in G$. $a \in C(b) \iff b \in C(a)$, co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $a$ i $b$ komutują ze sobą.
  • Jeśli $G = \{a\}$, to $N(S) = C(S) = C(a)$.
• Jeśli $G$ jest abelowa, to $C(H) = G$ oraz $N(H) = G$,
  • grupa $G$ jest abelowa $\iff Z(G) = G$.
• $C(H)$ jest zawsze podgrupą normalną $N(H)$,
  • $Z(G)$ jest podgrupą normalną $G$.
• $Z(G_1\times G_2)=Z(G_1)\times Z(G_2)$
• Jeśli grupa ilorazowa $G/ Z(G)$ jest cykliczna, to $G$ jest abelowa.
• Jeśli $G$ jest grupą nieabelową, to jej indeks względem $Z(G)$ jest większy od $3$.
• Jeśli $X\neq\varnothing$, to $Z(G^X)=(Z(G))^X$.

Uwagi

Jeżeli $H \leqslant G$, wtedy grupa ilorazowa $N(H)/C(H)$ jest izomorficzna z podgrupą $\operatorname{Aut}(H)$, grupą automorfizmów $H$.

Jeżeli $N_G(G) = G$, to $G/Z(G)$ jest izomorficzna z $\operatorname{Inn}(G)$, podgrupą $\operatorname{Aut}(G)$ zawierającą wszystkie automorfizmy wewnętrzne grupy $G$.

Jeżeli $H \subset G$, to homomorfizm $\varphi\colon G \to \operatorname{Inn}(G)$ taki, że $\varphi(x)(g) = \varphi_x(g) = xgx^{-1}$, pozwala na opisanie $N(H)$ oraz $C(H)$ w terminach działania grupy $\operatorname{Inn}(G)$ na grupie $G$:

• $\varphi(N(H))$ jest stabilizatorem $H$ w $\operatorname{Inn}(G)$,
• $\varphi(C(H)) \leqslant \operatorname{Inn}(G)$ jest podgrupą punktów stałych $H$.

Zobacz też

• stabilizator
• grupa ilorazowa
• działanie grupy na zbiorze
• grupa

Bibliografia

• A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005
• Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4