Centralizator i normalizator

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Centralizator (centrum), normalizator – w teorii grup specjalne podgrupy danej grupy mające szerokie zastosowaniu w jej badaniu.

Centralizator[edytuj | edytuj kod]

Niech x \in G. Centralizatorem elementu x nazywamy podgrupę

C_G(x)=\{g \in G: gx = xg\}.

Centralizator elementu zawiera więc wszystkie elementy przemienne z danym.

Powyższą konstrukcję można uogólnić do dowolnego podzbioru G, niekoniecznie będącego podgrupą.

Centralizatorem zbioru H \subset G nazywamy grupę

C(H) = \{g \in G: \forall_{h \in H}\; gh = hg\}.

Grupa ta jest przemienna z każdym z elementów zbioru H.

Centrum[edytuj | edytuj kod]

Centrum grupy – szczególny przypadek centralizatora:

Z(G) = C_G(G).

Centrum jest więc podgrupą elementów, które są przemienne z każdym elementem grupy G, mamy zatem Z(G) = \{x \in G: \forall_{g\in G} xg=gx \quad\}.

O centralizatorze elementu x można myśleć jako o największej (w sensie inkluzji) podgrupie H \le G zawierającej x w swoim centrum Z(H).

Indeks grupy względem centrum (G:Z(G)) można interpretować jako wskaźnik abelowości grupy – im mniejsza to liczba, tym więcej elemenetów w grupie jest ze sobą przemiennych i odwrotnie.

W ten sam sposób definiujemy centrum pierścienia, Z(R).

Twierdzenie Schura[edytuj | edytuj kod]

Jeśli (G:Z(G))<\infty, to |[G,G]|<\infty.

Dowód twierdzenia Schura Czytelnik znajdzie w[1].

Normalizator[edytuj | edytuj kod]

Dopełnieniem konceptu centralizatora jest tzw. normalizator zbioru H \subset G.

Normalizatorem H w G jest podgrupa

 N_G(H) = \{g \in G : gH = Hg\} \le G.

Normalizator swoją nazwę zawdzięcza faktowi, że jeśli H \le G, to N_G(H) jest największą podgrupą G mającą H jako swoją podgrupę normalną.

Działanie grupy na zbiorze[edytuj | edytuj kod]

Niech H \le G będzie dowolną podgrupą. Rozpatrzmy działanie grupy \varphi: G \to \Sigma_{G/H} grupy G na zbiorze warstw G/H zadane wzorem \varphi_g(aH) = gaH. Wówczas \ker \varphi = \bigcap_{g \in G}\; gHg^{-1} \le H jest podgrupą normalną G. Jest to największa ze względu na zawieranie podgrupa normalna zawarta w H.

Jeśli H \triangleleft G, to H = \ker \varphi

Oznaczenia[edytuj | edytuj kod]

W oznaczeniach centralizatora i normalizatora, o ile nie prowadzi to do nieporozumień, można pominąć indeks oznaczający grupę względem której rozpatruje się centralizator lub normalizator danego elementu, czy zbioru. W grupie G mamy więc C(H) \equiv C_G(H) oraz N(H) \equiv N_G(H) dla dowolnego zbioru H \subset G.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Niech G, G_1, G_2 będą grupami, H \subset G:

  • Niech a,\, b \in G. a \in C(b) \iff b \in C(a), co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a i b komutują ze sobą.
    • Jeśli G = \{a\}, to N(S) = C(S) = C(a).
  • Jeśli G jest abelowa, to C(H) = G oraz N(H) = G,
    • grupa G jest abelowa \iff Z(G) = G.
  • C(H) jest zawsze podgrupą normalną N(H),
    • Z(G) jest podgrupą normalną G.
  • Z(G_1\times G_2)=Z(G_1)\times Z(G_2)
  • Jeśli grupa ilorazowa G/ Z(G) jest cykliczna, to G jest abelowa.
  • Jeśli G jest grupą nieabelową, to jej indeks względem Z(G) jest większy od 3.
  • Jeśli X\neq\varnothing, to Z(G^X)=(Z(G))^X.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli H \leqslant G, wtedy grupa ilorazowa N(H)/C(H) jest izomorficzna z podgrupą \operatorname{Aut}(H), grupą automorfizmów H.

Jeżeli N_G(G) = G, to G/Z(G) jest izomorficzna z \operatorname{Inn}(G), podgrupą \operatorname{Aut}(G) zawierającą wszystkie automorfizmy wewnętrzne grupy G.

Jeżeli H \subset G, to homomorfizm \varphi\colon G \to \operatorname{Inn}(G) taki, że \varphi(x)(g) = \varphi_x(g) = xgx^{-1}, pozwala na opisanie N(H) oraz C(H) w terminach działania grupy \operatorname{Inn}(G) na grupie G:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Herrn Huppert: Endliche Gruppen, I. Springer Verlag, 1967.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005
  • Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4