Charakterystyka (algebra)

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Charakterystyka pierścienia (z jedynką) $K$ to najmniejsza liczba naturalna $p$ taka, że p-krotna suma jedności jest zerem:

$1 + 1 + \cdots + 1=0$ , gdzie

$1$ jest elementem neutralnym mnożenia pierścienia $K$ ,
$0$ jego elementem neutralnym dodawania, natomiast
$+$ oznacza dodawanie, czyli addytywne działanie w pierścieniu.

Jeśli taka liczba nie istnieje, to mówimy, że pierścień ma charakterystykę równą zeru ("charakterystykę zero").

[edytuj] Własności

Dowodzi się, że charakterystyka dowolnego pierścienia $K$ nie zawierającego dzielników zera (czyli w szczególności, każdego ciała) jest równa zeru lub jest liczbą pierwszą.

W przypadku, gdy $K$ jest ciałem, można udowodnić, że

$\operatorname{char}\; K = 0 \iff K$ zawiera podciało izomorficzne z $\mathbb Q$ ,
$\operatorname{char}\; K = p \iff K$ zawiera podciało izomorficzne z $\mathbb Z_p$ .

Można pokazać, że jeśli ciało ma dodatnią charakterystykę p to każdy niezerowy element ma rząd p w jego grupie addytywnej.

[edytuj] Przykłady

$\operatorname{char}\; \mathbb Q = \operatorname{char}\; \mathbb R = \operatorname{char}\; \mathbb C = 0$ ,
$\operatorname{char}\; \mathbb Z_p = p$ , zob. ciało skończone,
$\operatorname{char}\; \overline {\mathbb Z_p} = p$ , gdzie $\overline {\mathbb Z_p}$ jest domknięciem algebraicznym (nieskończonym) ciała $\mathbb Z_p$ .