Charakterystyka Eulera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Charakterystyka Eulera to niezmiennik topologiczny charakteryzujący powierzchnie (rozmaitości topologiczne).

Wielościany wypukłe[edytuj | edytuj kod]

Wprowadźmy oznaczenia:

  • W — liczba wierzchołków,
  • S — liczba ścian,
  • K — liczba krawędzi.

Charakterystykę Eulera która tradycyjnie oznacza się grecką literą \chi\; i definiuje jako:

\chi=W-K+S \!.

Wielościany wypukłe spełniają twierdzenie Eulera o wielościanach co oznacza, że zachodzi dla nich wzór:

W + S = K +2\ .

Charakterystyka Eulera wielościanów wypukłych wynosi zatem 2.

Wielościany dowolne[edytuj | edytuj kod]

Ta sama definicja (czyli \chi=W-K+S \!) obowiązuje także dla pozostałych wielościanów. Okazuje się, że dowolny wielościan homeomorficzny z wielościanem wypukłym ma charakterystykę równą 2. Nie jest to prawdziwe dla innych wielościanów. Np. wszystkie wielościany homeomorficzne z torusem (czyli takie, przez środek których "przechodzi jedna dziura") mają charakterystykę równą 0.

Wielotopy[edytuj | edytuj kod]

Oznaczmy przez k_n liczbę n-wymiarowych ścian wielościanu. W tych oznaczeniach charakterystyka Eulera wyraża się wzorem:

\chi=k_0-k_1+k_2 \!.

Wzór ten możemy zapisać jako:

\chi=\sum_{i=0}^{3-1}(-1)^{i}k_i

Uogólnienie wzoru dla wielościanów w przestrzeni euklidesowej n-wymiarowej (czyli tzw. wielotopów) wygląda następująco:

\chi=\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^{i}k_i.

Na przykład w przestrzeni 4-wymiarowej charakterystyka Eulera to \chi=k_0-k_1+k_2-k_3\!, w 5-wymiarowej: \chi=k_0-k_1+k_2-k_3+k_4\!

Powierzchnie[edytuj | edytuj kod]

Charakterystykę Eulera powierzchni obliczamy w ten sposób, że dzielimy powierzchnię na dostatecznie małe trójkąty (dokonujemy triangulacji), a następnie wyliczamy charakterystykę odejmując liczbę krawędzi od sumy liczby trójkątów i liczby wierzchołków (np. możemy sferę podzielić na 4 trójkąty uzyskując 6 krawędzi i 4 wierzchołki).

Nazwa powierzchni Wygląd Charakterystyka Eulera
Sfera Sphere-wireframe.png 2
Torus Torus.png 0
Wstęga Möbiusa (z brzegiem) MobiusStrip-01.png 0
Butelka Kleina KleinBottle-01.png 0
Dwie sfery (niepołączone) Sphere-wireframe.pngSphere-wireframe.png 2 + 2 = 4

Dokładnie w ten sam sposób wyliczamy charakterystykę Eulera dla rozmaitości topologicznych (triangulacja może być przeprowadzana w wyższym wymiarze).