Charakterystyka Eulera

Charakterystyka Eulera to niezmiennik topologiczny charakteryzujący powierzchnie (rozmaitości topologiczne).

Wielościany wypukłe

Wprowadźmy oznaczenia:

• W — liczba wierzchołków,
• S — liczba ścian,
• K — liczba krawędzi.

Charakterystykę Eulera która tradycyjnie oznacza się grecką literą $\chi\;$ i definiuje jako:

$\chi=W-K+S \!.$

Wielościany wypukłe spełniają twierdzenie Eulera o wielościanach co oznacza, że zachodzi dla nich wzór:

$W + S = K +2\ .$

Charakterystyka Eulera wielościanów wypukłych wynosi zatem 2.

Wielościany dowolne

Ta sama definicja (czyli $\chi=W-K+S \!$) obowiązuje także dla pozostałych wielościanów. Okazuje się, że dowolny wielościan homeomorficzny z wielościanem wypukłym ma charakterystykę równą 2. Nie jest to prawdziwe dla innych wielościanów. Np. wszystkie wielościany homeomorficzne z torusem (czyli takie, przez środek których "przechodzi jedna dziura") mają charakterystykę równą 0.

Wielotopy

Oznaczmy przez $k_n$ liczbę n-wymiarowych ścian wielościanu. W tych oznaczeniach charakterystyka Eulera wyraża się wzorem:

$\chi=k_0-k_1+k_2 \!$.

Wzór ten możemy zapisać jako:

$\chi=\sum_{i=0}^{3-1}(-1)^{i}k_i$

Uogólnienie wzoru dla wielościanów w przestrzeni euklidesowej n-wymiarowej (czyli tzw. wielotopów) wygląda następująco:

$\chi=\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^{i}k_i$.

Na przykład w przestrzeni 4-wymiarowej charakterystyka Eulera to $\chi=k_0-k_1+k_2-k_3\!$, w 5-wymiarowej: $\chi=k_0-k_1+k_2-k_3+k_4\!$

Powierzchnie

Charakterystykę Eulera powierzchni obliczamy w ten sposób, że dzielimy powierzchnię na dostatecznie małe trójkąty (dokonujemy triangulacji), a następnie wyliczamy charakterystykę odejmując liczbę krawędzi od sumy liczby trójkątów i liczby wierzchołków (np. możemy sferę podzielić na 4 trójkąty uzyskując 6 krawędzi i 4 wierzchołki).

Nazwa powierzchni	Wygląd	Charakterystyka Eulera
Sfera		2
Torus		0
Wstęga Möbiusa (z brzegiem)		0
Butelka Kleina		0
Dwie sfery (niepołączone)		2 + 2 = 4

Dokładnie w ten sam sposób wyliczamy charakterystykę Eulera dla rozmaitości topologicznych (triangulacja może być przeprowadzana w wyższym wymiarze).