Charakterystyka impulsowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Charakterystyka impulsowa (odpowiedź impulsowa, funkcja odpowiedzi impulsowej g(t)\, ) - w teorii sterowania: jedna z charakterystyk czasowych, wraz z charakterystyką skokową stanowi podstawowy opis działania układu.

Charakterystyka impulsowa to odpowiedź układu liniowego na wymuszenie w postaci bardzo wąskiego i bardzo wysokiego impulsu o powierzchni jednostkowej, który można uznać, w przypadku układów ciągłych, za przybliżenie delty Diraca \delta(t)\, - przy zerowych warunkach początkowych (w przypadku układów dyskretnych impulsem tym jest impuls Kroneckera).

Po podaniu impulsu otrzymujemy:

Y(s) \approx G(s)\cdot 1 (gdzie Y(s)\, jest transmitancją sygnału na wyjściu z obiektu opisanego transmitacją G(s)\, ) oraz:
y(t) \approx \mathcal{L}^{-1}\left\{G(s)\right\}=g(t) (gdzie g(t)\, oznacza charakterystykę impulsową a \mathcal{L}^{-1} odwrotną transformatę Laplace'a)

Znajomość odpowiedzi impulsowej pozwala nam przewidzieć odpowiedź układu na każde inne pobudzenie. Odpowiedź układu na dowolne pobudzenie jest bowiem splotem sygnału pobudzającego oraz odpowiedzi impulsowej układu (zob. też macierz przejścia)

Analiza funkcji odpowiedzi impulsowej pozwala na określenie cech układu, w szczególności na określenie czy mamy do czynienia z układem o skończonej, czy nieskończonej odpowiedzi impulsowej.

Dla układu opisanego równaniami stanu, w których t_{0}=C\, a równanie wyjścia dane jest następująco:  y(t)=\mathcal{L}^{T}x(t)\, odpowiedź na wymuszenie dane jest wzorem:

y_{\delta}(t)=\int_0^t{\mathcal{L}^{T}e^{A(t-\tau)}B\delta(\tau)d\tau}=\mathcal{L}^{T} e^{At} B

Uogólnieniem odpowiedzi impulsowej na układy wielowymiarowe jest macierz odpowiedzi impulsowych. Dla układu wielowymiarowego opisanego równaniami stanu, w których t_{0}=\mathbf{C}\, a równanie wyjścia dane jest następująco:  \mathbf{y}(t)=\mathbf{C} \mathbf{x}(t)\, wymusznie dane jest wzorem:

\mathbf{y}_{\delta}(t)=\int_0^t{\mathbf{K}(t-\tau)\mathbf{u}(\tau)d\tau}

gdzie macierz odpowiedzi impulsowych:

\mathbf{K}(t)=\mathbf{C} e^{\mathbf{A}t} \mathbf{B}

Powyższy wzór na odpowiedź wymuszoną układu wielowymiarowego stanowi uogólnienie całki splotowej i może też być zapisany:

\mathbf{y} = \mathbf{K} \mathbf{u}\,

Macierz odpowiedzi impulsowych (ani odpowiedź impulsowa) nie zależy od wyboru stanu układu. Nie ulega ona więc zmianie przy przekształceniach tego stanu.

Przykład:

W akustyce często wyznacza się odpowiedź impulsową pomieszczenia (np. kościoła) poprzez nagranie w nim krótkiego impulsu dźwiękowego (np. strzału z pistoletu). Pozwala to później na przetwarzanie innych nagrań (splatanie ich z odpowiedzią impulsową pomieszczenia) i w rezultacie otrzymanie takiego efektu, jakby zostały one nagrane w tym właśnie pomieszczeniu.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]