Ciąg arytmetyczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ciąg arytmetycznyciąg liczbowy, w którym każdy wyraz można otrzymać dodając wyraz bezpośrednio go poprzedzający oraz ustaloną liczbę, zwaną różnicą ciągu. Zwykle mówiąc o ciągu arytmetycznym zakładamy, iż jego wyrazy są liczbami rzeczywistymi, choć sporadycznie rozważa się również ciągi arytmetyczne o wyrazach zespolonych.

Ciąg arytmetyczny nazywamy też (już coraz rzadziej) postępem arytmetycznym.

Definicja i przykłady[edytuj | edytuj kod]

Ciąg liczbowy (a_{n}) \, nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeśli dla pewnej liczby r \, (nazywanej różnicą ciągu) zachodzi

(\forall n\in\mathbb{N})( a_{n+1}=a_{n}+r).

Równoważnie, (a_{n}) \, jest ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy gdy

a_{n+1}-a_n=a_{n+2}-a_{n+1} \, dla wszystkich n \, naturalnych.
Przykłady
  • ciąg: 1, 3, 5, 7, 9, ... jest arytmetyczny (jego różnicą jest 2), natomiast
  • ciąg: 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, ... nie jest arytmetyczny (3-1=2, lecz 4-3=1).

Każdy ciąg stały jest ciągiem arytmetycznym, gdyż różnica takiego ciągu wynosi 0.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Ciąg arytmetyczny o różnicy r \, ma następujący wzór ogólny:
a_n = a_1 + (n-1)r \,
  • Zatem, aby wyznaczyć pierwszy wyraz a_1 ciągu arytmetycznego oraz jego różnicę r wystarczy znać dwa wyrazy tego ciągu.
  • Trzy liczby ustawione w danej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy środkowa jest średnią arytmetyczną dwóch skrajnych:
a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}
  • Ciąg arytmetyczny liczb rzeczywistych jest zawsze ciągiem monotonicznym - rosnącym, gdy różnica ciągu jest dodatnia, malejącym, gdy jest ujemna, lub stałym, gdy jest równa 0.

Suma skończonego ciągu arytmetycznego[edytuj | edytuj kod]

Suma S_n początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa średniej arytmetycznej wyrazów pierwszego i n-tego pomnożona przez liczbę wyrazów n:

S_n = a_1+a_2+\dots+a_n=\frac{a_1 + a_n}{2}n =\frac{2a_1 + (n-1)r}{2}n

Formuła zbliżona do powyższej była podana w 1202 przez Leonarda z Pizy w jego dziele Liber Abaci (rozdział II.12). Często jest powtarzana historia, według której Carl Friedrich Gauss miał odkryć formułę na sumę ciągu arytmetycznego w wieku siedmiu lat[1].

Dowód wzoru

Wyraźmy sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego dwoma sposobami:

 S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\dots\dots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d) oraz
 S_n=(a_1+(n-1)d)+(a_1+(n-2)d)+\dots\dots+(a_1+2d)+(a_1+d)+a_1

(gdzie po prawej stronie drugiego równania sumowane wyrazy ciągu wypisane są w odwrotnej kolejności).

Po dodaniu powyższych dwóch równań stronami otrzymamy

 2S_n=\Big(a_1+(a_1+(n-1)d)\Big)+\Big((a_1+d)+(a_1+(n-2)d)\Big)+\dots\dots+\Big((a_1+(n-3)d)+(a_1+2d)\Big)+\Big((a_1+(n-2)d)+(a_1+d)\Big)+\Big((a_1+(n-1)d)+a_1\Big)

a stąd

 2S_n=\Big(2a_1+(n-1)d\Big)+\Big(2a_1+(n-1)d\Big)+\dots\dots+\Big(2a_1+(n-1)d\Big)+\Big(2a_1+(n-1)d\Big)+\Big(2a_1+(n-1)d\Big)

i

2S_n=n(2a_1+(n-1)d)

Pamiętając, że a_n = a_1 + (n-1)d, powyższą równość możemy przekształcić do:

 S_n=\frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}.

Związek ciągu arytmetycznego z funkcją liniową

Istnieje ścisły związek pomiędzy ciągiem arytmetycznym a funkcją liniową y=ax+b. Jeżeli do wzoru funkcji liniowej będziemy podstawiać kolejne wartości argumentów x różniące się o stałą wartość, np. o 1, to otrzymane w ten sposób wartości funkcji liniowej utworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli kolejne argumenty x będą różnić się o 1, to wartości funkcji liniowej będą różnić się o wartość współczynnika kierunkowego a.

Dowód:

 f(x)=ax+b.
 f(x+1)=a(x+1)+b=ax+a+b
 r=f(x+1)-f(x)=(ax+a+b)-(ax+b)=a

Jeżeli więc np. założymy, że dziedziną funkcji liniowej będzie zbiór liczb naturalnych dodatnich, to tak otrzymana funkcja będzie ciągiem arytmetycznym o różnicy równej współczynnikowi kierunkowemu prostej (r=a).

Czyli ciąg wartości funkcji liniowej y=ax+b dla kolejnych naturalnych x:

 a_1=f(1)
 a_2=f(2)
 a_3=f(3)
 ...
 a_n=f(n)

będzie ciągiem arytmetycznym o wzorze ogólnym

 a_n=a \cdot n+b

Korzystając z tej własności można na podstawie wzorów ogólnych ciągów arytmetycznych określić ich różnicę, np.:

 a_n=5n-3 \ \ \ (r=5)
 a_n=-2n+3 \ \ \ (r=-2)
 a_n=-n+4 \ \ \ (r=-1)

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. MacTutor podaje tę historię twierdząc, że chodziło o dodanie kolejnych liczb naturalnych od 1 do 100, zobacz [1], natomiast E.T. Bell w książce Men of Mathematics podaje, że chodziło o bardziej skomplikowany przypadek.