Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny – ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz można otrzymać dodając wyraz bezpośrednio go poprzedzający oraz ustaloną liczbę, zwaną różnicą ciągu. Zwykle mówiąc o ciągu arytmetycznym zakładamy, iż jego wyrazy są liczbami rzeczywistymi, choć sporadycznie rozważa się również ciągi arytmetyczne o wyrazach zespolonych.

Ciąg arytmetyczny nazywamy też (już coraz rzadziej) postępem arytmetycznym.

Definicja i przykłady

Ciąg liczbowy $(a_{n}) \,$ nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeśli dla pewnej liczby $r \,$ (nazywanej różnicą ciągu) zachodzi

$(\forall n\in\mathbb{N})( a_{n+1}=a_{n}+r)$.

Równoważnie, $(a_{n}) \,$ jest ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy gdy

$a_{n+1}-a_n=a_{n+2}-a_{n+1} \,$ dla wszystkich $n \,$ naturalnych.

Przykłady

• ciąg: 1, 3, 5, 7, 9, ... jest arytmetyczny (jego różnicą jest 2), natomiast
• ciąg: 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, ... nie jest arytmetyczny (3-1=2, lecz 4-3=1).

Każdy ciąg stały jest ciągiem arytmetycznym, gdyż różnica takiego ciągu wynosi 0.

Własności

• Ciąg arytmetyczny o różnicy $r \,$ ma następujący wzór ogólny:

$a_n = a_1 + (n-1)r \,$

• Zatem, aby wyznaczyć pierwszy wyraz $a_1$ ciągu arytmetycznego oraz jego różnicę $r$ wystarczy znać dwa wyrazy tego ciągu.
• Trzy liczby ustawione w danej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy środkowa jest średnią arytmetyczną dwóch skrajnych:

$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

• Ciąg arytmetyczny liczb rzeczywistych jest zawsze ciągiem monotonicznym - rosnącym, gdy różnica ciągu jest dodatnia, malejącym, gdy jest ujemna, lub stałym, gdy jest równa 0.

Suma skończonego ciągu arytmetycznego

Suma $S_n$ początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa średniej arytmetycznej wyrazów pierwszego i n-tego pomnożona przez liczbę wyrazów n:

$S_n = a_1+a_2+\dots+a_n=\frac{a_1 + a_n}{2}n =\frac{2a_1 + (n-1)r}{2}n$

Formuła zbliżona do powyższej była podana w 1202 przez Leonarda z Pizy w jego dziele Liber Abaci (rozdział II.12). Często jest powtarzana historia według której Carl Friedrich Gauss miał odkryć formułę na sumę ciągu arytmetycznego w wieku siedmiu lat.

Dowód wzoru

Wyraźmy sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego dwoma sposobami:

$S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\dots\dots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)$ oraz

$S_n=(a_1+(n-1)d)+(a_1+(n-2)d)+\dots\dots+(a_1+2d)+(a_1+d)+a_1$

(gdzie po prawej stronie drugiego równania sumowane wyrazy ciągu wypisane są w odwrotnej kolejności).

Po dodaniu powyższych dwóch równań stronami otrzymamy

$2S_n=\Big(a_1+(a_1+(n-1)d)\Big)+\Big((a_1+d)+(a_1+(n-2)d)\Big)+\dots\dots+\Big((a_1+(n-3)d)+(a_1+2d)\Big)+\Big((a_1+(n-2)d)+(a_1+d)\Big)+\Big((a_1+(n-1)d)+a_1\Big)$

a stąd

$2S_n=\Big(2a_1+(n-1)d\Big)+\Big(2a_1+(n-1)d\Big)+\dots\dots+\Big(2a_1+(n-1)d\Big)+\Big(2a_1+(n-1)d\Big)+\Big(2a_1+(n-1)d\Big)$

i

$2S_n=n(2a_1+(n-1)d)$

Pamiętając, że $a_n = a_1 + (n-1)d$, powyższą równość możemy przekształcić do:

$S_n=\frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}$.

Związek ciągu arytmetycznego z funkcją liniową

Istnieje ścisły związek pomiędzy ciągiem arytmetycznym a funkcją liniową y=ax+b. Jeżeli do wzoru funkcji liniowej będziemy podstawiać kolejne wartości argumentów x różniące się o stałą wartość, np. o 1, to otrzymane w ten sposób wartości funkcji liniowej utworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli kolejne argumenty x będą różnić się o 1, to wartości funkcji liniowej będą różnić się o wartość współczynnika kierunkowego a.

Dowód:

$f(x)=ax+b.$

$f(x+1)=a(x+1)+b=ax+a+b$

$r=f(x+1)-f(x)=(ax+a+b)-(ax+b)=a$

Jeżeli więc np. założymy, że dziedziną funkcji liniowej będzie zbiór liczb naturalnych dodatnich, to tak otrzymana funkcja będzie ciągiem arytmetycznym o różnicy równej współczynnikowi kierunkowemu prostej (r=a).

Czyli ciąg wartości funkcji liniowej y=ax+b dla kolejnych naturalnych x:

$a_1=f(1)$

$a_2=f(2)$

$a_3=f(3)$

$...$

$a_n=f(n)$

będzie ciągiem arytmetycznym o wzorze ogólnym

$a_n=a \cdot n+b$

Korzystając z tej własności można na podstawie wzorów ogólnych ciągów arytmetycznych określić ich różnicę, np.:

$a_n=5n-3 \ \ \ (r=5)$

$a_n=-2n+3 \ \ \ (r=-2)$

$a_n=-n+4 \ \ \ (r=-1)$

Zobacz też

• ciąg
• ciąg geometryczny
• ciąg harmoniczny