Ciąg dokładny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Niech \{\,G_i\,\} będzie ciągiem grup oraz \varphi_i : G_i \rightarrow G_{i + 1} - ciągiem homomorfizmów:

\cdots \xrightarrow{\varphi_{n - 1}}\, G_n\, \xrightarrow{\varphi_n} \,G_{n + 1}\, \xrightarrow{\varphi_{n + 1}} \cdots

Ten ciąg grup i homomorfizmów nazywamy ciągiem dokładnym, jeśli obraz każdego homomorfizmu jest równy jądru następnego homomorfizmu:

\mathrm{im}\, \varphi_n = \mathrm{ker}\, \varphi_{n + 1}[1]

gdzie

\mathrm{im}\, \varphi_n = \{\varphi(g): g \in G_n\},
\mathrm{ker}\, \varphi_{n + 1} = \{g \in G_{n + 1}: \varphi(g) = e_{n + 2}\},
\,e_n\, jest elementem neutralnym grupy \,G_n\,.

Ciągi dokładne określa się także dla innych niż grupy struktur algebraicznych, na przykład dla modułów, jeśli są one grupami ze względu na jedno z działań[2].

Ciąg dokładny w kategorii abelowej[edytuj | edytuj kod]

Ciąg

\cdots \xrightarrow{\alpha_{n - 1}}\, A_n\, \xrightarrow{\alpha_n} \,A_{n + 1}\, \xrightarrow{\alpha_{n + 1}}  \,A_{n + 2}\,  \cdots

obiektów kategorii abelowej \mathfrak{A} i morfizmów \,\alpha_n\,, takich że

\mathrm{Ker} \,\alpha_{n + 1}\, = \mathrm{Im} \,\alpha_n\,

jest nazywany ciągiem dokładnym[3].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Niech \mathrm{1} oznacza grupę jednoelementową (składającą się tylko z elementu neutralnego). Wtedy dokładność ciągu:
\mathrm{1} \rightarrow G \xrightarrow{\varphi} H oznacza, że \varphi jest monomorfizmem, bo \mathrm{ker}\, \varphi = 1, gdzie 1 jest elementem neutralnym grupy H,
G \xrightarrow{\varphi} H \rightarrow \mathrm{1} oznacza, że \varphi jest epimorfizmem, bo \mathrm{im}\, \varphi = H
\mathrm{1}\rightarrow G \xrightarrow{\varphi} H\rightarrow \mathrm{1} oznacza, że \varphi jest izomorfizmem, co wynika z dwóch poprzednich przykładów.
  • Niech grupa G zawiera nietrywialną podgrupę normalną G0. Wtedy ciąg dokładny
1 \rightarrow G_0 \rightarrow G \rightarrow G_1 \rightarrow 1

nazywa się rozszerzeniem grupy \,G_1\, za pomocą grupy \,G_0\,. Badanie rozszerzeń grupy sprowadza się do badania grup: podgrupy \,G_0\, oraz faktorgrupy \,G_1\,=\,G/G_0'[4].

\dots \leftarrow K_{n - 1} \xleftarrow{\partial_n} K_n \xleftarrow{\partial_{n + 1}} K_{n + 1} \leftarrow \dots

jest dokładny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego n spełniona jest równość

\operatorname{ker} (\partial_n) = \operatorname{im} (\partial_{n + 1}),

to znaczy, gdy dla wszystkich n zachodzi równość H_n K = 0.\;.

Zatem homologie można interpretować jako miarę odchylenia kompleksu od dokładności. Kompleks dokładny nazywany jest kompleksem acyklicznym (nie ma w nim żadnych cykli poza brzegami)[5].

0 \rightarrow L_{\bullet} \xrightarrow{\iota} Cf_{\bullet} \xrightarrow{\kappa} K^{+}_{\bullet} \rightarrow 0,

gdzie \iota y = (y, 0)\; i \kappa (y, x) = x\;

Przypisy

  1. Кириллов, op. cit., s.21
  2. Balcerzyk, Józefiak, op. cit., s. 23
  3. Математическая энциклопедия, op. cit., s.410
  4. Кириллов, op. cit., s.26
  5. Dold (tłum. ros.), op. cit., s. 28

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Кириллов А. А.: Теория представлений. Москва: Наука, 1978.
  2. Stanisław Balcerzyk, Tadeusz Józefiak: Pierścienie przemienne. Warszawa: PWN, 1985. ISBN 83-01-04874-3.
  3. Виноградов И. М. (red.): Математическая энциклопедия. T. 5. Москва: Советская энциклопедия, 1985.
  4. Dold A.: Lectures on algebraic topology. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1972.