Ciąg uogólniony

Ciąg uogólniony - w teorii mnogości, rozszerzenie pojęcia ciągu na odwzorowania zbiorów skierowanych w dowolne zbiory. Dla ciągów uogólnionych możemy wprowadzać pojęcie zbieżności czy punktów skupienia. W szczególności, każdy ciąg jest ciągiem uogólnionym.

Definicja

Niech $X$ będzie niepustym zbiorem, $( \Sigma, \leqslant )$ zbiorem skierowanym. Ciągiem uogólnionym nazywamy zbiór $S=\{x_{\sigma}\colon\; \sigma\in\Sigma\}$, gdzie $x_\sigma$ jest elementem zbioru $X$ przyporządkowanym elementowi $\sigma\in\Sigma$.

Punkty skupienia i granica

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną. Punkt $x\in X$ nazywamy punktem skupienia ciągu uogólnionego $S=\{x_{\sigma}\colon\; \sigma\in\Sigma\}$, jeśli

$\bigwedge_{U\subseteq X}\bigwedge_{\sigma_0\in \Sigma}\bigvee_{\sigma\geqslant \sigma_0}x_\sigma\in U$

gdzie $U$ oznacza otoczenie punktu $x$.

Punkt $x\in X$ nazywamy granicą ciągu uogólnionego $S=\{x_{\sigma}\colon\; \sigma\in\Sigma\}$ jeśli

$\bigwedge_{U\subseteq X}\bigvee_{\sigma_0\in \Sigma}\bigwedge_{\sigma\geqslant \sigma_0}x_\sigma\in U$

gdzie $U$, tak jak poprzednio, oznacza otoczenie punktu $x$. Mówimy wtedy również, że $S$ jest zbieżny do $x$.

Ciąg uogólniony może być zbieżny do więcej niż jednej granicy. Zbiór wszystkich granic ciągu $S$ oznaczamy $\lim S$ albo $\lim_{\sigma\in\Sigma}S$.

Subtelniejsze ciągi uogólnione

Pojęcie subtelniejszego ciągu uogólnionego jest analogią pojęcia podciągu.

Ciąg uogólniony $S=\{x_{\sigma^\prime}\colon\; \sigma^\prime\in\Sigma^\prime\}$ nazywamy subtelniejszym od ciągu $S=\{x_{\sigma}\colon\; \sigma\in\Sigma\}$, jeśli istnieje funkcja $\varphi\colon \Sigma^\prime\to\Sigma$, spełniająca warunki:

1. $\bigwedge_{\sigma_0\in\Sigma}\bigvee_{\sigma_0^\prime\in\Sigma^\prime}\left[ \sigma^\prime\geqslant \sigma_0^\prime \Rightarrow \varphi(\sigma^\prime)\geqslant \sigma_0\right]$.
2. $\bigwedge_{\sigma^\prime\in\Sigma^\prime}x_{\varphi(\sigma^\prime)}=x_{\sigma^\prime}$.

Własności

• Jeśli punkt $x$ jest punktem skupienia ciągu uogólnionego $S^\prime$ subtelniejszego od $S$, to $x$ jest punktem skupienia $S$.
• Jeśli punkt $x$ jest granicą ciągu uogólnionego $S$, to jest także granicą subtelniejszego ciągu uogólnionego $S^\prime$.
• Jeśli punkt $x$ jest punktem skupienia ciągu uogólnionego $S$, to jest granicą pewnego ciągu uogólnionego $S^\prime$, subteleniejszego od $S$.

Zobacz też

• domknięcie

Bibliografia

• Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 1976.