Ciąg uogólniony

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ciąg uogólniony - w teorii mnogości, rozszerzenie pojęcia ciągu na odwzorowania zbiorów skierowanych w dowolne zbiory. Dla ciągów uogólnionych możemy wprowadzać pojęcie zbieżności czy punktów skupienia. W szczególności, każdy ciąg jest ciągiem uogólnionym.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie niepustym zbiorem, ( \Sigma, \leqslant ) zbiorem skierowanym. Ciągiem uogólnionym nazywamy zbiór S=\{x_{\sigma}\colon\; \sigma\in\Sigma\}[1], gdzie x_\sigma jest elementem zbioru X przyporządkowanym elementowi \sigma\in\Sigma.

Punkty skupienia i granica[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Punkt x\in X nazywamy punktem skupienia ciągu uogólnionego S=\{x_{\sigma}\colon\; \sigma\in\Sigma\}, jeśli

\bigwedge_{U\subseteq X}\bigwedge_{\sigma_0\in \Sigma}\bigvee_{\sigma\geqslant \sigma_0}x_\sigma\in U

gdzie U oznacza otoczenie punktu x.

Punkt x\in X nazywamy granicą ciągu uogólnionego S=\{x_{\sigma}\colon\; \sigma\in\Sigma\} jeśli

\bigwedge_{U\subseteq X}\bigvee_{\sigma_0\in \Sigma}\bigwedge_{\sigma\geqslant \sigma_0}x_\sigma\in U

gdzie U, tak jak poprzednio, oznacza otoczenie punktu x. Mówimy wtedy również, że S jest zbieżny do x.

Ciąg uogólniony może być zbieżny do więcej niż jednej granicy. Zbiór wszystkich granic ciągu S oznaczamy \lim S albo \lim_{\sigma\in\Sigma}S.

Subtelniejsze ciągi uogólnione[edytuj | edytuj kod]

Pojęcie subtelniejszego ciągu uogólnionego jest analogią pojęcia podciągu.

Ciąg uogólniony S=\{x_{\sigma^\prime}\colon\; \sigma^\prime\in\Sigma^\prime\} nazywamy subtelniejszym od ciągu S=\{x_{\sigma}\colon\; \sigma\in\Sigma\}, jeśli istnieje funkcja \varphi\colon \Sigma^\prime\to\Sigma, spełniająca warunki:

  1. \bigwedge_{\sigma_0\in\Sigma}\bigvee_{\sigma_0^\prime\in\Sigma^\prime}\left[ \sigma^\prime\geqslant \sigma_0^\prime \Rightarrow \varphi(\sigma^\prime)\geqslant \sigma_0\right].
  2. \bigwedge_{\sigma^\prime\in\Sigma^\prime}x_{\varphi(\sigma^\prime)}=x_{\sigma^\prime}.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli punkt x jest punktem skupienia ciągu uogólnionego S^\prime subtelniejszego od S, to x jest punktem skupienia S.
  • Jeśli punkt x jest granicą ciągu uogólnionego S, to jest także granicą subtelniejszego ciągu uogólnionego S^\prime.
  • Jeśli punkt x jest punktem skupienia ciągu uogólnionego S, to jest granicą pewnego ciągu uogólnionego S^\prime, subteleniejszego od S.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Czasem piszemy także S=(x_\sigma)_{\sigma\in\Sigma}.