Ciało (formalnie) rzeczywiste

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ciało (formalnie) rzeczywiste - ciało K, w którym zachodzi

a_1^2+\dots+a_n^2=0 \Rightarrow a_1=\dots=a_n=0\qquad dla \quad a_i\in K

czyli, jeśli suma kwadratów elementów z ciała wynosi zero, to każdy z tych elementów musi być równy zero.

Powyższy warunek jest równoważny każdej z dwóch poniższych własności:

  •  -1\in K nie jest sumą kwadratów w K.

Ciało, które nie jest formalnie rzeczywiste, nazywamy nierzeczywistym.


Ciało rzeczywiście domknięte to ciało K spełniające którykolwiek z następujących równoważnych warunków:

  1. K jest ciałem formalnie rzeczywistym, które nie ma rozszerzenia algebraicznego będącego ciałem (formalnie) rzeczywistym.
  2. Istnieje porządek liniowy ≤ taki, że (K, ≤) jest ciałem uporządkowanym, w którym każdy element dodatni ma pierwiastek kwadratowy w K, i każdy wielomian nieparzystego stopnia o współczynnikach z K ma pierwiastek w K.
  3. Istnieje porządek liniowy ≤ taki, że (K, ≤) jest euklidesowym ciałem uporządkowanym i każdy wielomian nieparzystego stopnia o współczynnikach z K ma pierwiastek w K.
  4. Element -1 nie jest kwadratem w K, a ciało K(\sqrt {-1}) jest algebraicznie domknięte.

Teorię ciał formalnie rzeczywistych i ciał uporządkowanych z wykorzystaniem istnienia domknięć rzeczywistych stworzyli E. Artin i O. Schreier w latach 1926-27, dowodząc między innymi, że:

  1. Każde ciało formalnie rzeczywiste ma rozszerzenie algebraiczne, które jest rzeczywiście domknięte (nazywane jego domknięciem rzeczywistym).
  2. Każde ciało uporządkowane ma rzeczywiste domknięcie, które wyznacza w nim dany jego porządek.
  3. Jeśli ciało algebraicznie domknięte C jest właściwym skończonym rozszerzeniem ciała K, to ciało K jest rzeczywiście domknięte i C = K(\sqrt {-1}).

Artin wykorzystał te wyniki do rozwiązania 17. Problemu Hilberta.